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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 63
folgt auch gleich die ω-Stetigkeit der Operationen (über der flachen Halbordnung). Die Verzweigungsoperationen
des li-Datentyps sind gemäß dessen Definition und dem Korollar 4.3
sowieso gleich den Verzweigungsoperationen des (ω-vollständigen) cbv-Fixpunktdatentyps.
Somit ist D li P
Schritt 2: D li P
ω-vollständig und eine cbv-Interpretation.
ist ein Fixpunkt der cbv-Transformation.
Träger, Ordnung und Konstruktoroperationen von ΦP,cbv(Dli P ) und Dli P
ΦP,cbv(Dli zeigen noch f P ) = f Dli
P für alle f ∈ F( ˙∪ H).
Für die Verzweigungssymbole condG ∈ H ist cond
ΦP,cbv(Dli P )
G
= cond Dli
P
G gegeben.
stimmen überein. Wir
Sei f (n) ∈ F( ˙∪ {selG,i ∈ H}) und t1, . . .,tn ∈ TΣ, t 1, . . .,t n ∈ T ⊥ C mit [[t1]] li P = t 1, . . .,[[tn]] li P =
t n.
Fall 1: Es existiert eine Reduktionsregel f(p)→r ∈ ˆ P und eine Substitution σ : Var(p)→TC
mit p1σ = t 1, . . .,pnσ = t n.
Da t1 ↓ P,li = t 1 = ⊥, . . .,tn ↓ P,li = t n = ⊥, gilt:
und somit
f(t1, . . .,tn)
∗
∗
−−→ f(t1 ↓
P,li P,li, . . .,tn ↓P,li) −−→ rσ
P,li
[[f(t1, . . .,tn)]] li P = [[rσ]] li P.
Gemäß der Definition der cbv-Transformation ist
ΦP,cbv(Dli f
P ) (t1, . . .,t n) = [[rσ]] alg
.
Nach Korollar 3.4, S. 48, über Datentypen einer Grundtermsemantik ist
Insgesamt gilt also
ΦP,cbv(Dli f P ) (t1, . . .,t n) = [[rσ]] alg
Dli P
[[rσ]] alg
D li
P
= [[rσ]] li P.
Fall 2: ⊥ /∈ {t 1, . . . , t n} und es existiert keine passende Regel.
f(t1, . . .,tn)
D li
P
= [[rσ]] li P = [[f(t1, . . .,tn)]] li P = f Dli
P (t 1, . . .,t n).
∗
−−→
P,li f(t1 ↓ P,li, . . . , tn ↓ P,li) = f(t1, . . . , tn)↓ P,li /∈ TC,
ΦP,cbv(Dli f P ) (t1, . . .,t n) = ⊥ = [[f(t1, . . .,tn)↓ P,li ]] li P = [[f(t1, . . .,tn)]] li P = f Dli
P (t1, . . .,t n).
Fall 3: ⊥ ∈ {t 1, . . . , t n}.
f(t1, . . .,tn) besitzt keine li-Konstruktornormalform. Somit ist
ΦP,cbv(Dli f P ) (t1, . . .,t n) = ⊥ = [[f(t1, . . .,tn)]] li P = f Dli
P (t1, . . .,t n).