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96 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
5.2.5 Eine alternative ς-Transformation
Betrachten wir noch einmal die Definition der ς-Transformation ΦP,ς auf Seite 77. Ist t mit der
linken Seite einer Regel f(p)→r vermittels einer Variablenbelegung β semantisch ς-matchbar, so
erhält bei der Transformation vonf ΦP,ς() (t) den Wert [[r]] alg
, d.h. den semantischen Wert der ,β
rechten Regelseite unterund β. Prinzipiell werden so auch Transformationen für rekursive Funktionsschemata
definiert (vgl. [Ind93]). Ist f jedoch erzwungen strikt fürt, so ist fΦP,ς() (t) = ⊥. Dies
entspricht genau der Bedeutung der Striktheit und ist gemäß der Definition der ς-Interpretationen
auch notwendig, da die Operationen für alle erzwungen strikten Argumente auch strikt sein müssen.
Ist f allerdings nicht erzwungen strikt für t, aber existiert auch keine passende linke Regelseite,
so enthält das Programm keinerlei Information über den Wert fΦP,ς() (t). Deshalb wird in der
ς-Transformation dieser Wert gleich ⊥ definiert. Da ⊥ Undefiniertheit oder fehlende Information
repräsentiert, ist dies sinnvoll. Gibt es überhaupt eine Alternative? Da ⊥ als kleinstes Element das
einzige irgendwie ausgezeichnete Element des Rechenbereichs ist, ist die feste Wahl eines anderen
Elements des Rechenbereichs unsinnig. Es existiert aber noch eine andere Möglichkeit: Der Wert
fΦP,ς() (t) kann schlicht als dem alten“ Wert f(t) gleich definiert werden.
”
Damit ergibt sich folgende alternative ς-Transformation Φ∗ P,ς :
⎧
f Φ∗ P,ς ()
⎪⎨
(t) :=
⎪⎩
[[r]] alg
,β , wenn t mit der linken Seite einer
Reduktionsregel f(p)→r von P
vermittels einer Variablenbelegung β : Var(p)→TC,ς
semantisch ς-gematcht wird.
f(t) , sonst
für alle t ∈ (TC,ς) n , f (n) ∈ F( ˙∪ H) und∈IntΣ,ς.
Die Definition von f Φ∗ P,ς () (t) := f(t), wenn f erzwungen strikt für t ist, ändert nichts gegenüber
der ς-Transformation ΦP,ς, da dieser Wert in allen ς-Interpretationen gleich ⊥ ist.
Auch sehen wir direkt, daß Φ ∗ P,ς (⊥ς) = ΦP,ς(⊥ς) und allgemeinn := (Φ ∗ P,ς )n (⊥ς) = (ΦP,ς) n (⊥ς)
für alle n ∈ IN ist. Für diejenigen f und t, für die keine passende linke Regelseite besteht, ist
fn (t) = ⊥ für alle n ∈ IN. Somit ist auch
(Φ ∗ P,ς) n (⊥ς) =
(ΦP,ς) n (⊥ς),
n∈IN
und die ς-Datentypen ließen sich also mit der alternativen ς-Transformation Φ∗ P,ς genauso gut
definieren wie mit ΦP,ς.
Warum verwenden wir dann Φ∗ P,ς nicht?
Es gibt einen guten Grund, ΦP,ς vorzuziehen: Ein Ergebnis von Φ∗ P,ς ist im allgemeinen keine
ς-Interpretation mehr. Die Operationen der sich ergebenden Algebra sind im allgemeinen nicht
mehr ω-stetig. Freilich läßt sich durch eine Änderung der Definition der ς-Interpretation, derart,
daß beliebige, auch unstetige Operationen zugelassen werden, dieses Problem beseitigen. Es ergibt
sich jedoch sofort ein neues: Φ∗ P,ς ist auf diesem erweiterten Definitionsbereich nicht ω-stetig. Die
Übereinstimmung von Definitions- und Wertebereich und die ω-Stetigkeit sind jedoch zentrale Voraussetzungen
für die Anwendung des Fixpunktsatzes von Tarski bei der Definition des ς-Datentyps.
Gehen wir jedoch Schritt für Schritt vor.
n∈IN