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5.3. DIE ς-REDUKTIONSSEMANTIKEN 105
t = G(t1, . . .,tn): (G (n) ∈ C)
[[t[u ← t ′ ]]] alg
⊥ς = G⊥ς ([[t1]] alg
I.V. ⊥ς = G ([[t1]] alg
⊥ς
⊥ς , . . .,[[ti[u ′ ← t ′ ]]] alg
⊥ς
, . . .,[[tn]] alg
⊥ς )
alg
, . . .,[[ti]] ⊥ς [u′ ← [[t ′ ]] alg alg
], . . .,[[tn]] ⊥ς )
(entweder = ⊥ oder = G(. . .)) = G ⊥ς ([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ⊥ς ⊥ς )[u ← [[t′ ]] alg
⊥ς ]
t = f(t1, . . .,tn): (f (n) ∈ F)
= [[t]] alg
⊥ς [u ← [[t′ ]] alg
⊥ς ].
[[t[u ← t ′ ]]] alg
⊥ς = ⊥ = ⊥[i.u′ ← [[t ′ ]] alg
⊥ς
⊥ς
] = [[t]]alg
⊥ς [u ← [[t′ ]] alg
⊥ς ].
Im Beispiel 4.9, S. 69, haben wir für die cbn-Semantik gesehen, wie ein semantischer Wert eines
Terms durch fortwährende Reduktion approximiert wird. Im folgenden Lemma beweisen wir, daß
Reduktion nur zu einem Informationsgewinn (bzgl. der Halbordnung 〈TC,ς, ✂〉) und niemals zu
einem Informationsverlust führen kann.
Lemma 5.23 Informationsgewinn durch Reduktion
Beweis:
Gegeben sei die Reduktion t
für eine Substitution σ, und es gilt
t −−→
P
t ′ =⇒ [[t]] alg
⊥ς ✂ [[t′ ]] alg
⊥ς
t −−→ t
P,no ′ =⇒ [[t]] alg
⊥ς = [[t′ ]] alg
⊥ς
u
−−−−→
f(p)→r t′ . Somit ist
t/u = f(p)σ
t ′ /u = rσ
[[f(p)σ]] alg
⊥ς
= ⊥ ✂ [[rσ]]alg
⊥ς .
Mit Lemma 5.22 über die Vertauschung von semantischer Approximation und Teiltermersetzung
und der Invarianz der kanonischen Halbordnung der partiellen Terme folgt:
[[t]] alg
⊥ς
= [[t[u ← f(p)σ]]]alg ⊥ς
= [[t]] alg
[u ← f(p)σ]
⊥ς
✂ [[t]] alg
[u ← rσ]
⊥ς
= [[t[u ← rσ]]] alg
⊥ς
= [[t ′ ]] alg
⊥ς .
Ist u ∈ NOuterP(t), so existiert eine Stelle v < u mit t(v) ∈ F( ˙∪ H), d. h. [[t/v]] alg
⊥ς
u ∈ Occ([[t]] alg
), und es gilt:
⊥ς
[[t]] alg
⊥ς
= [[t]]alg [u ← f(p)σ] = [[t]]alg = [[t]]alg
⊥ς ⊥ς ⊥ς [u ← rσ] = [[t′ ]] alg
⊥ς .
✷
= ⊥. Somit ist
✷