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6.1. DAS INITIALE MODELL 135
Beispiel 6.1 Unerwünschte Datenelemente im Normalformmodell
head(x:xs) → x
tail(x:xs) → xs
ist ein terminierendes Programm mit Pattern mit C = {[] (0) , : (2) } und F = {head (1) ,tail (1) }.
TΣ ↓ = {[], [[]], [[], []], . . .,head([]),tail([]), . . .}
ist der Träger des Normalformmodells Mnf P . ✷
Dies widerspricht jedoch dem geforderten Prinzip der Konstruktorbasiertheit der Programmiersprache,
wonach die Datenelemente durch die Konstruktoren aufgebaut werden, und die Funktions- und
Hilfsoperationen nur auf diesen Datenelementen operieren.
Daher ist das Normalformmodell auch nicht kompositionell (siehe S. 62); die Erweiterung eines
Programms um zusätzliche Funktionssymbole mit zugehörigen Programmregeln führt im allgemeinen
zu einer Erweiterung des Trägers und damit auch zu einer Änderung der ” alten“ Operationen.
Das Konzept des Basisdatentyps garantiert dagegen die Kompositionalität der Semantik. Die
Funktionsoperationen (und Hilfsoperationen) operieren auf dem fest gegebenen Träger des Basisdatentyps.
In unseren konstruktorbasierten Programmiersprachen sollen die Datenelemente dieses
Trägers durch die Konstruktoren aufgebaut werden. In dem Normalformmodell ist jedoch überhaupt
kein Basisdatentyp auffindbar. Dieses Problem ist auch im Bereich der algebraischen Spezifikationen
bekannt. Als Reaktion wurde in [Gut77] der Begriff der ausreichenden Vollständigkeit (sufficient
completeness) von Spezifikationen eingeführt (siehe auch [Gut&Hor78] und 3.2 in [Der&Jou90]).
Übertragen auf unsere Programme ist diese wie folgt definiert:
Definition 6.3 Ausreichende Vollständigkeit
Ein Programm P heißt genau dann ausreichend vollständig, wenn für jeden Term t ∈ TΣ ein
∗
Konstruktorterm c ∈ TC mit t −−→ c existiert2 . ✷
P
Ausreichende Vollständigkeit impliziert selbstverständlich TΣ ↓ = TC, und garantiert damit die
Kompositionalität des Normalformmodells.
Offensichtlich ist für die ausreichende Vollständigkeit eines Programms die Vollständigkeit der Redexschemata
in folgendem Sinne notwendig:
Definition 6.4 Vollständigkeit der Redexschemata
Die Menge der Redexschemata, RedSP, heißt genau dann vollständig, wenn für alle f (n) ∈ F( ˙∪ H)
und c ∈ (TC) n f(c) ein Redex ist. ✷
Lemma 6.1 Vollständigkeit der Redexschemata ausreichend vollständiger
Programme
Wenn P ein ausreichend vollständiges Programm ist, dann ist die Menge der Redexschemata,
RedSP, vollständig.
t
2 Die für die ausreichende Vollständigkeit beliebiger Termersetzungssysteme in [Der&Jou90] geforderte Eigenschaft
∗
←→ P c ist hier aufgrund der Konfluenz von −−→
P
äquivalent zu t
∗
−−→ c.
P