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6.2. DEKLARATIVE EIGENSCHAFTEN DER ς-SEMANTIKEN 141
Fall 2: Andernfalls.
f ΦP,cbn() (t) = ⊥ ✂ f(t).
Lemma 6.7 DÈcbn = MinAlgΣÚ(IntModÈcbn) Der cbn-Datentyp, also der kleinste Fixpunkt der cbn-Transformation, ist das kleinste cbn-
Interpretationsmodell des Programms P.
Beweis:
Nach Lemma 6.5 ist jeder Fixpunkt von ΦP,cbn ein cbn-Interpretationsmodell von P. Es bleibt zu
zeigen, daß DP,cbn =
n∈IN (ΦP,cbn) n (⊥cbn) das kleinste aller cbn-Interpretationsmodelle von P ist.
Sei∈IntModP,cbn. Durch vollständige Induktion wird gezeigt, daß für alle n ∈ IN
n = 0: ⊥cbn ⊑.
n ⇒ n + 1: Nach Induktionsvoraussetzung ist
(ΦP,cbn) n (⊥cbn) ⊑.
(ΦP,cbn) n (⊥cbn) ⊑.
Da die cbn-Transformation gemäß Lemma 5.20, S. 95, monoton ist, gilt
(ΦP,cbn) n+1 (⊥cbn) ⊑ ΦP,cbn().
Nach Lemma 6.6 über cbn-Interpretationsmodelle ist
ΦP,cbn() ⊑.
Aus den letzten 2 Ungleichungen folgt wie gewünscht
(ΦP,cbn) n+1 (⊥cbn) ⊑.
Da DP,cbn die kleinste obere Schranke der ω-Kette ((ΦP,cbn) n (⊥cbn))n∈IN ist, folgt
DP,cbn ⊑.
Diese deklarative Charakterisierung ist eine ebenso gute Definition des cbn-Datentyps wie die cbn-
Fixpunktsemantik. Dennoch ist die cbn-Fixpunktsemantik nicht nur aufgrund ihrer anderen Sichtweise
und der größeren Allgemeinheit (beliebige erzwungene Striktheiten ς) wertvoll. Die Existenz
eines kleinsten cbn-Interpretationsmodells und somit des cbn-Datentyps ist nämlich durch die deklarative
Definition noch nicht garantiert. Ein direkter Beweis der Existenz ist zwar möglich, aber
auch nicht einfacher als die vielen für die Wohldefiniertheit der ς-Fixpunktsemantik benötigten
(hauptsächlich ω-Stetigkeits-) Beweise. Mit Hilfe des konstruktiven Fixpunktsatzes von Tarski haben
wir die Existenz des cbn-Datentyps in der ς-Fixpunktsemantik sichergestellt.
Wir besitzen nun eine deklarative cbn-Semantik. Für die übrigen ς-Semantiken scheint jedoch keine
deklarative Definition zu existieren, da, wie wir gezeigt haben, aufgrund der erzwungenen Striktheit
Fixpunkte einer ς-Transformation und insbesondere der ς-Datentyp nicht immer Modelle sind.
Die fehlende Modelleigenschaft ergibt sich aus der Quantifizierung der in den Reduktionsregeln
vorkommenden Variablen über alle Elemente des Trägers der Algebra. Verzichtet man bei der
Quantifizierung auf ⊥, so sind alle Fixpunkte aller ς-Transformationen derartige ” Modelle ∗ “:
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