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5.4. SYNTAKTISCHES UND SEMANTISCHES ς-MATCHEN 111<br />

Beweis:<br />

Nach Korollar 5.28 über syntaktische ς-Matchbarkeit ist t mit f(p) genau dann syntaktisch ςmatchbar,<br />

wenn<br />

∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ [[ti]] alg<br />

⊥ς = ⊥) ∧ (pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[ti]] alg<br />

⊥ς )<br />

gilt. Nach Korollar 5.9 über semantische ς-Matchbarkeit gilt dies wiederum genau dann, wenn<br />

([[t1]] alg alg<br />

, . . .,[[tn]] ) mit f(p) semantisch ς-matchbar ist.<br />

⊥ς ⊥ς<br />

Mit der Monotonie der semantischen ς-Matchbarkeit gemäß Lemma 5.10, S. 84, folgt aus der semantischen<br />

ς-Matchbarkeit von ([[t1]] alg alg<br />

, . . .,[[tn]] ) mit f(p) auch die semantische ς-Matchbarkeit<br />

⊥ς ⊥ς<br />

von ([[t1]] alg<br />

, . . .,[[tn]] alg<br />

) mit f(p) für alle Interpretationen∈IntΣ,ς. Da ⊥ς ∈ IntΣ,ς, ist natürlich<br />

auch die umgekehrte Schlußrichtung korrekt.<br />

Wird t mit f(p) unter σ syntaktisch ς-gematcht, so ist nach Lemma 5.27 über syntaktisches ς-<br />

Matchen<br />

xσ = t/u , wobei {u} = Occ(x, p), (1)<br />

für alle x ∈ Var(p).<br />

Wird ([[t1]] alg<br />

, . . . , [[tn]] alg<br />

) mit f(p) unter βsemantisch ς-gematcht, so ist nach Lemma 5.8 über<br />

semantisches ς-Matchen<br />

für alle x ∈ Var(p).<br />

Aus letzterem folgt<br />

β(x) = ([[t1]] alg<br />

, . . .,[[tn]] alg<br />

)/u , wobei {u} = Occ(x, p), (2)<br />

β(x) = [[ti]] alg<br />

/u ′ , wobei {i.u ′ } = Occ(x, p), (3)<br />

für alle x ∈ Var(p).<br />

Aufgrund des Lemmas 5.29 über die Vertauschung von Semantik und Teiltermbildung ist<br />

[[ti]] alg<br />

/u ′ = [[ti/u ′ ]] alg (4)<br />

mit {i.u ′ } = Occ(x, p) für alle x ∈ Var(p).<br />

Insgesamt gilt somit:<br />

β(x) (3)<br />

= [[ti]] alg<br />

/u<br />

′ (4)<br />

= [[ti/u ′ ]] alg = [[t/u]] alg (1) alg<br />

= [[xσ]] (5)<br />

für alle x ∈ Var(p).<br />

Für t ∈ TΣ(Var(p)) enthält tσ keine Variablen mehr. Damit folgt aus (5) nach Lemma 4.2 über<br />

Substitutionsapplikation und algebraische Termsemantik, daß<br />

[[t]] alg<br />

,β= [[tσ]] alg <br />

für alle t ∈ TΣ(Var(p)) gilt. ✷<br />

Wenn nur für einige aber nicht für alle∈IntΣ,ς ([[t1]] alg<br />

, . . .,[[tn]] alg<br />

)mit f(p) semantisch ςmatchbar<br />

ist, muß t nicht mit f(p) syntaktisch ς-matchbar sein:<br />

Beispiel 5.7 Zum syntaktischen und semantischen ς-Matchen<br />

Sei f(p1) := f(A), t1 := a und∈IntΣ,ς mit a:= A.<br />

Somit ist ([[t1]] alg<br />

) = ([[a]] alg<br />

) = (A) mit f(A) semantisch ς-matchbar, aber nicht (t1) = (a) syntaktisch<br />

mit f(A). ✷

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