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5.4. SYNTAKTISCHES UND SEMANTISCHES ς-MATCHEN 111<br />
Beweis:<br />
Nach Korollar 5.28 über syntaktische ς-Matchbarkeit ist t mit f(p) genau dann syntaktisch ςmatchbar,<br />
wenn<br />
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ [[ti]] alg<br />
⊥ς = ⊥) ∧ (pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[ti]] alg<br />
⊥ς )<br />
gilt. Nach Korollar 5.9 über semantische ς-Matchbarkeit gilt dies wiederum genau dann, wenn<br />
([[t1]] alg alg<br />
, . . .,[[tn]] ) mit f(p) semantisch ς-matchbar ist.<br />
⊥ς ⊥ς<br />
Mit der Monotonie der semantischen ς-Matchbarkeit gemäß Lemma 5.10, S. 84, folgt aus der semantischen<br />
ς-Matchbarkeit von ([[t1]] alg alg<br />
, . . .,[[tn]] ) mit f(p) auch die semantische ς-Matchbarkeit<br />
⊥ς ⊥ς<br />
von ([[t1]] alg<br />
, . . .,[[tn]] alg<br />
) mit f(p) für alle Interpretationen∈IntΣ,ς. Da ⊥ς ∈ IntΣ,ς, ist natürlich<br />
auch die umgekehrte Schlußrichtung korrekt.<br />
Wird t mit f(p) unter σ syntaktisch ς-gematcht, so ist nach Lemma 5.27 über syntaktisches ς-<br />
Matchen<br />
xσ = t/u , wobei {u} = Occ(x, p), (1)<br />
für alle x ∈ Var(p).<br />
Wird ([[t1]] alg<br />
, . . . , [[tn]] alg<br />
) mit f(p) unter βsemantisch ς-gematcht, so ist nach Lemma 5.8 über<br />
semantisches ς-Matchen<br />
für alle x ∈ Var(p).<br />
Aus letzterem folgt<br />
β(x) = ([[t1]] alg<br />
, . . .,[[tn]] alg<br />
)/u , wobei {u} = Occ(x, p), (2)<br />
β(x) = [[ti]] alg<br />
/u ′ , wobei {i.u ′ } = Occ(x, p), (3)<br />
für alle x ∈ Var(p).<br />
Aufgrund des Lemmas 5.29 über die Vertauschung von Semantik und Teiltermbildung ist<br />
[[ti]] alg<br />
/u ′ = [[ti/u ′ ]] alg (4)<br />
mit {i.u ′ } = Occ(x, p) für alle x ∈ Var(p).<br />
Insgesamt gilt somit:<br />
β(x) (3)<br />
= [[ti]] alg<br />
/u<br />
′ (4)<br />
= [[ti/u ′ ]] alg = [[t/u]] alg (1) alg<br />
= [[xσ]] (5)<br />
für alle x ∈ Var(p).<br />
Für t ∈ TΣ(Var(p)) enthält tσ keine Variablen mehr. Damit folgt aus (5) nach Lemma 4.2 über<br />
Substitutionsapplikation und algebraische Termsemantik, daß<br />
[[t]] alg<br />
,β= [[tσ]] alg <br />
für alle t ∈ TΣ(Var(p)) gilt. ✷<br />
Wenn nur für einige aber nicht für alle∈IntΣ,ς ([[t1]] alg<br />
, . . .,[[tn]] alg<br />
)mit f(p) semantisch ςmatchbar<br />
ist, muß t nicht mit f(p) syntaktisch ς-matchbar sein:<br />
Beispiel 5.7 Zum syntaktischen und semantischen ς-Matchen<br />
Sei f(p1) := f(A), t1 := a und∈IntΣ,ς mit a:= A.<br />
Somit ist ([[t1]] alg<br />
) = ([[a]] alg<br />
) = (A) mit f(A) semantisch ς-matchbar, aber nicht (t1) = (a) syntaktisch<br />
mit f(A). ✷
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