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138 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Anders formuliert ist
TΣ/ ∼ [·]P,ς = M nf
P
für alle erzwungenen Striktheiten ς. Aufgrund des Vorhandenseins von ⊥ und anderen partiellen
Konstruktortermen im Träger TC,ς der ς-Datentypen ist allerdings DP,ς = Mnf P . Diese partiellen
Konstruktorterme sind jedoch unter den gegebenen Bedingungen gar nicht denotierbar.
Bei diesem Ergebnis ist zu bedenken, daß die Forderung der Termination und vollständiger Redexschemata
für eine Programmiersprache unzumutbar ist. Unter dieser Bedingung sind partielle
Operationen wie head und tail von Listen nicht definierbar 3 . Die Termination ist überhaupt nicht
entscheidbar. Sprachen für ausführbare algebraische Spezifikationen wie OBJ (9.2 in [Wir90]) überlassen
es dem Programmierer, die Termination und weitere unentscheidbare hinreichende Bedingungen
für die Übereinstimmung von operationeller und initialer Semantik sicherzustellen. Dies
widerspricht jedoch unserem schon in der Einleitung dargestellten Standpunkt, daß eine Semantik
jedem (entscheidbar) syntaktisch korrektem Programm eine Bedeutung zuordnen soll.
Somit ist das initiale Modell als Datentyp eines funktionalen Programms ungeeignet.
6.2 Deklarative Eigenschaften der ς-Semantiken
Semantiken, die auf dem Modellbegriff der Logik basieren, werden deklarativ genannt. Im letzten
Abschnitt haben wir die Modelle eines Programms definiert. Offensichtlich ist kein ς-Datentyp das
initiale Modell eines Programms. Es wäre aber immerhin zu erwarten, daß die Reduktionsregeln
eines Programms in jedem zugehörigen ς-Datentyp gültig wären, dieser also ein Modell des Programms
wäre. Wenn ein ς-Datentyp außerdem ein in einer gewissen Weise ausgezeichnetes Modell
ist, dann können wir ihn auch auf diese Weise deklarativ definieren.
Der cbn-Datentyp DP,cbn ist tatsächlich ein Modell des Programms P. Wir zeigen sogar noch
allgemeiner, daß jeder Fixpunkt der cbn-Transformation ein Modell ist:
Lemma 6.5 cbn-Fixpunkte ⊆ ModÈ
Sei∈IntΣ,cbn ein Fixpunkt der cbn-Transformation ΦP,cbn. Dann istein Modell des Programms
P.
Beweis:
ist ein Fixpunkt von ΦP,cbn.
=⇒ (Definition)
Für alle Reduktionsregeln f (n) (p)→r ∈ ˆ P, alle t ∈ (TC,cbn) n und alle β : Var(p)→TC,cbn, so
daß t mit f(p) vermittels β semantisch cbn-gematcht wird, gilt
f(t) = [[r]] alg
,β .
⇐⇒ (Lemma 5.2, S. 79, über die Charakterisierung des semantischen cbn-Matchens)
Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P, alle t ∈ (TC,cbn) n und alle β : Var(p)→TC,cbn, so daß für alle i ∈ [n]
[[pi]] alg
⊥cbn = t i, gilt
f(t) = [[r]] alg
,β .
3 Mit Hilfe sogenannter order-sorted Signaturen und Algebren ist dies dennoch möglich. Andererseits führen diese
zu einer größeren Komplexität und neuen Problemen; siehe 3.3.4 in [Wir90].