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126 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
mit
und außerdem sei
Dann ist auch
V1 := U1 \ t U2 −−→ t2
R,I
V2 := U2 \ t U1 −−→ t1
R,I
u ∈ OuterR,I(t) ∩ OuterR,I(ˆt)
u /∈ U2 ∪ V1
u ∈ OuterR,I(t1)
u /∈ U1 ∪ V2
Beweis:
Sei (v] := {v ′ ∈ IN ∗ + | v ′ ≤ v} für beliebige v ∈ IN ∗ +.
1. Z.z.: u /∈ U1.
Angenommen, u ∈ U1. Da u ∈ OuterR,I(t) und u /∈ U2, ist (u] ∩ U2 = ∅. Nach Definition
der Residuenabbildung ist dann u ∈ U1 \ t U2 −−→ t2 = V1. Dies steht im Widerspruch zu den
R,I
Voraussetzungen.
2. Z.z.: (u] ∩ V2 = ∅.
Angenommen, u ′ ∈ (u]∩V2 ⊆ U2 \t U1 −−→ t1. Nach Definition der Residuenabbildung existiert
R,I
dann ein u ′′ ∈ U1 ∪ U2 mit u ′′ ≤ u ′ , d. h. u ′′ ∈ (u]. Dies steht im Widerspruch dazu, daß
u ∈ Outer(t) und u /∈ U1 ∪ U2 ⊆ RedOccR,I(t), und somit (u] ∩ (U1 ∪ U2) = ∅.
3. Z.z.: u /∈ V2.
Dies folgt direkt aus 2.
4. Z.z.: u ∈ OuterR,I(t1).
Da u ∈ OuterR,I(t) und u /∈ U1, ist (u] ∩ U1 = ∅. Somit ist u \ t U1 −−→ t1 = {u} und also
R,I
u ∈ RedOccR,I(t1).
Angenommen, u /∈ OuterR,I(t1). Dann existiert u ′ ∈ OuterR,I(t1) mit u ′ < u. Da (u ′ ] ⊆ (u],
ist nach 2. (u ′ ]∩V2 = ∅. Gemäß der Definition der Residuenabbildung ist dann u ′ \t1
V2 −−→ ˆt =
R,I
{u ′ }. Somit ist u ′ ∈ RedOccR,I(ˆt). Da u ′ < u, ist u /∈ OuterR,I(ˆt). Dies steht im Widerspruch
zu den Voraussetzungen.
Lemma 5.46 Erhalt einer outermost Redexstelle in der eventually outermost
Hilfskonstruktion
Sei die eventually outermost Hilfskonstruktion mit den in Definition 5.17 verwendeten Bezeichnern
gegeben.
Sei u ∈ OuterR,I(t ′ i ) und u /∈ Wi für alle i ∈ IN+. Dann ist u ∈ OuterR,I(si) und u /∈ Qi für alle
i ∈ IN+.
✷