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4.3. DIE CBN-SEMANTIK 71
zeigen, und dann daraus mit der Invarianz der algebraischen Termsemantik die Invarianz der po-
Reduktionssemantik folgern.
Somit können wir aber auch den Beweis der Übereinstimmung der Fixpunkt- und der po-
Reduktionssemantik nicht analog zu dem entsprechenden Beweis für die cbv-Semantik führen. Dort
haben wir einen speziellen Datentyp der li-Reduktionssemantik, Dli P , definiert. Für dessen Wohldefiniertheit
ist die Invarianz der li-Reduktionssemantik jedoch Voraussetzung. Außerdem wäre die
analoge Definition eines po-Datentyps weitaus schwieriger, da nicht nur zu ⊥, sondern auch zu
vielen anderen echt partiellen und echt unendlichen Berechnungstermen im allgemeinen kein sie
denotierender syntaktischer Term existiert. Dies folgt schon allein aus der Überabzählbarkeit von
T∞ C,⊥ . Immerhin läßt sich leicht einsehen, daß für alle endlichen, partiellen Berechnungsterme TC,⊥
jeweils ein sie denotierender syntaktischer Term aus TΣ existiert, wenn dies nur für einen einzigen
echt partiellen (TC,⊥ \TC) der Fall ist. Aufgrund der geforderten ω-Stetigkeit der Operationen wäre
die Fortsetzung der Operationen auf die echt unendlichen Konstruktorterme eindeutig. Die Wohldefiniertheit
dieses po-Datentyps — bezüglich der Übereinstimmung mit der po-Reduktionssemantik
— wäre jedoch auch noch zu zeigen. Schließlich wäre die Übereinstimmung des po-Datentyps und
des cbn-Fixpunktdatentyps auch nicht analog zur cbv-Semantik beweisbar, da wir bei dieser die
speziellen Eigenschaften der flachen Halbordnung ausgenutzt haben (Satz 4.5, S. 62). Wir werden
daher in Kapitel 5 ein anderes Beweisprinzip verwenden.
Zum Schluß wollen wir noch einmal einen kurzen Blick auf die verworfene lo-Reduktionsstrategie
werfen. Wir haben in Beispiel 4.8 die Unvollständigkeit der lo-Reduktionsstrategie anhand eines
Programms mit Pattern aufgezeigt. Folgendes Beispiel zeigt, daß die Unvollständigkeit auch bei
Programmen mit Hilfsfunktionen gegeben ist.
Beispiel 4.10 Unvollständigkeit der lo-Reduktionsstrategie, II
und aus
folgt auch
aber
und somit wäre
liste → undef:liste
undef → undef
[[liste]] fix
P,cbn = [⊥, ⊥, . . .]
liste −−→
P,po undef : liste −−→
P,po undef : undef : liste −−→
P,po . . .
[[liste]] po
P = {⊥, ⊥ : ⊥, ⊥ : ⊥ : ⊥, . . .} = [⊥, ⊥, ⊥, . . .],
liste −−→
P,lo undef : liste −−→
P,lo undef : liste −−→
P,lo . . . ,
[[liste]] lo P = ⊥ : ⊥.
Diese unvollständige Approximation ergibt sich jedoch nur bei Termen mit echt partiellen oder echt
unendlichen Konstruktortermen als Semantik. Für Terme, die eine (po-)Konstruktornormalform
besitzten, sind diese bei Programmen mit Hilfsfunktionen wirklich mit der lo-Reduktionsstrategie
berechenbar. Auf den Beweis dieser Aussage wollen wir jedoch verzichten. Dennoch erklärt dies
✷