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84 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Dies impliziert das folgende Korollar.
Korollar 5.9 Semantische ς-Matchbarkeit
t ∈ (TC,ς) n ist genau dann mit f(p1, . . . , pn) ∈ RedSP semantisch ς-matchbar, wenn f nicht erzwungen
strikt in t ist und t mit dem Pattern p matchbar ist.
Beweis:
Im vorhergehenden Lemma 5.8 über semantisches ς-Matchen stellt nur (1) Anforderungen ant und
f(p), während Bedingung (2) nur die Variablenbelegung β festlegt. ✷
Für den Beweis der ω-Stetigkeit der ς-Transformation, 5.20, benötigen wir:
Lemma 5.10 ω-Stetigkeit des semantischen ς-Matchens
Sei n ∈ IN, T = (t j)j∈IN eine ω-Kette von Termtupeln mit t i,j ∈ TC,ς und f(p1, . . .,pn) ∈ RedSP.
Sei ˆt := T.
1. Es existieren genau dann t k ∈ T, das mit f(p) semantisch ς-matchbar ist, wenn ˆt mit f(p)
semantisch ς-matchbar ist.
2. Wenn für alle j ∈ IN t j ∈ T mit f(p) von einer Substitution βj : Var(p)→TC,ς semantisch
ς-gematcht wird, dann wird ˆt mit f(p) von der Substitution β =
j∈IN βj : Var(p)→TC,ς
semantisch ς-gematcht.
Beweis:
1., ⇒: t k ∈ T sei mit f(p) semantisch ς-matchbar. Nach Korollar 5.9 über semantische ς-
Matchbarkeit gilt dann
Es ist jedoch
und somit gilt
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ t i,k = ⊥) ∧ pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i,k
t k ✂ T = ˆt
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ ˆt i = ⊥) ∧ pi[⊥/Var(pi)] ✂ ˆt i
Mit Korollar 5.9 folgt dann wiederum, daß ˆt mit f(p) semantisch ς-matchbar ist.
1., ⇐: ˆt sei mit f(p) semantisch ς-matchbar. Nach Korollar 5.9 gilt dann
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ ˆt i = ⊥) ∧ pi[⊥/Var(pi)] ✂ ˆt i
Sei i ′ ∈ [n] mit ς(f)(i ′ ) = tt. Somit ist ˆt i ′ = ⊥. Da ˆt i ′ =
j∈IN ti ′ ,j, existiert ki ′ ∈ IN mit
ti ′ ,j = ⊥ für alle j ≥ ki ′. Also gilt für alle j ≥ k := max{ki ′ | i′ ∈ [n], ς(f)(i ′ ) = tt}:
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ t i,j = ⊥).