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7.3. SEQUENTIALITÄT 163
Lemma 7.8 Erhalt der Sequentialität bei der ς-Transformation für Programme
mit Hilfsfunktionen
Sei P ein Programm mit Hilfsfunktionen undeine sequentielle ς-Interpretation.
Dann ist auch ΦP,ς() eine sequentielle ς-Interpretation.
Beweis:
Sei′ := ΦP,ς().
Konstruktoroperationen: Die Konstruktoroperationen G′
sind nach Lemma 7.4 für alle G ∈ C
sequentiell.
Hilfsoperationen:
Verzweigungsoperationen: Seien ϕG die Verzweigungsoperationen nach der Transformation
bei Vernachlässigung der erzwungenen Striktheit (vgl. Lemma 5.1, S. 78):
⎧
⎪⎨
ϕG(t1, t2, t3) :=
⎪⎩
für alle G ∈ C und t 1, t 2, t 3 ∈ TC,ς.
⊥ , falls t1 = ⊥
t2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC,ς
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥ς,β = t t3 ,
1 = ⊥ existiert
andernfalls
Sei t ∈ (TC,ς) 3 mit Occ(⊥,t) = ∅ und u ′ ∈ Occ(⊥, ϕG(t)).
t = (⊥, t 2, t 3): Da ϕG(t) = ⊥, muß u ′ = ε sein. u := 1.ε ist ein Sequentialitätsindex von
ϕ für t bezüglich u ′ .
t = (G(t ′ 1 , . . .,t′ n), t2, t3): Also ist ϕG(t) = t2. Somit ist u := 2.u ′ ein Sequentialitätsindex
von ϕ für t bezüglich u ′ .
t = (H(t ′ 1 , . . .,t′ m), t2, t3): (G = H (m) ∈ C).
Also ist ϕG(t) = t3. Somit ist u := 3.u ′ ein Sequentialitätsindex von ϕ fürt bezüglich
u ′ .
ϕG ist also sequentiell. Aus
cond′
G (t) =
⊥ , falls ein i ∈ [3] mit t i = ⊥ und ϕ(condG)(i) = tt existiert
ϕG(t) , anderfalls
für alle t ∈ (TC,ς) 3 folgt zusammen mit dem Erhalt der Sequentialität bei erzwungener
Striktheit gemäß Lemma 7.3, daß die Verzweigungsoperationen cond′
G sequentiell sind.
Selektionsoperationen: Es gilt (vgl. Lemma 5.1, S. 78):
⎧
⎪⎨
sel′
G,i(t) :=
⎪⎩
für alle selG,i ∈ H und t ∈ TC,ς.
β(xi) , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC,ς
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥ς,β = t 1 = ⊥ existiert
⊥ , andernfalls
Sei (t) ∈ (TC,ς) 1 mit Occ(⊥, (t)) = ∅ und u ′ ∈ Occ(⊥, sel′
G,i(t)).
t = G(t ′ 1 , . . .,t′ n): Es ist sel′
G,i(t) = t ′ i . u := i.u′ ist ein Sequentialitätsindex bezüglich u ′ .