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6.3. DER PARTIELLE CBV-DATENTYP VON PROGRAMMEN MIT PATTERN 151
Mit der Monotonie von Π und Π −1 gemäß Lemma 6.12 folgt
Π(DP,cbv) ⊑ Π(Π −1 ()) =.
Dabeliebig ist, ist Π(DP,cbv) das kleinste partielle cbv-Interpretationsmodell von P, und somit
ist gemäß Definition 6.14 des partiellen cbv-Datentyps
D part
P,cbv = Π(DP,cbv)
Die zweite Gleichung folgt analog bzw. aus der Surjektivität von Π. ✷
Hiermit haben wir die Berechtigung der Bezeichnung von D part
P,cbv als partiellen cbv-Datentyp gezeigt,
und außerdem dessen Wohldefiniertheit bewiesen. Die Existenz von DP,cbv ist aufgrund der
Wohldefiniertheit der cbv-Fixpunktsemantik bekannt, und somit existiert auch D part
P,cbv = Π(DP,cbv).
Insgesamt stellen wir also fest, daß nicht nur die cbn-Semantik, sondern auch die cbv-Semantik deklarativ
definierbar ist. Wie wir sehen, ist die Wahl der zugrundeliegenden mathematischen Struktur
von entscheidender Bedeutung. Bei der cbn-Semantik sind es die geordneten totalen Algebren,
während zu der cbv-Semantik die auch intuitiv natürlicheren partiellen Algebren am besten passen.
Bemerkung 6.1: Verzweigungskontrollstrukturen
Alle Aussagen dieses Abschnitts 6.3 betreffen nur Programme mit Pattern. Es ist aber durchaus
möglich, für Programme, die ähnliche Verzweigungskontrollstrukturen wie die Verzweigungssymbole
condG der Programme mit Hilfsfunktionen besitzen, eine cbv-Semantik auf der Grundlage partieller
Algebren zu definieren. Hierbei dürfen die Verzweigungssymbole nur nicht mehr Teil der Signatur
Σ sein, und ihre Semantik muß völlig getrennt von der Semantik der Signatursymbole betrachtet
werden.
Beispielsweise könnten sogenannte ” Guards“, wie sie in Miranda und Haskell existieren, definiert
werden:
f(p1, . . . , pn) → t1, ifG1 (s1)
t2, ifG2 (s2)
.
tm, otherwise
Nur t1, . . .,tm und s1, . . .,sm−1 sind Terme, während die gesamte rechte Seite ein semantisch getrennt
von diesen zu betrachtendes Konstrukt ist.
Diese ” Guards“ vereinfachen die Programmierung. Sie erhöhen keinesfalls die Berechnungsstärke der
Programme, da sich Programme mit ” Guards“ leicht in Programme mit Pattern mit zusätzlichen
Funktionssymbolen übersetzen ließen (vgl. 7.2).
In [Broy&Wir83] werden partielle Algebren sogar für nicht-strikte Semantiken verwendet. Dies
geschieht aber auch erst vermittels eines Umwegs über totale Algebren, die dann auf partielle
Algebren abgebildet werden. ✷
Bemerkung 6.2: Totale Homomorphismen und Definiertheitsprädikate
Wir haben partielle cbv-Interpretationen zusammen mit einer kanonischen Halbordnung definiert,
um mit deren Hilfe den partiellen cbv-Datentypen D part
P,cbv festzulegen. Dies geschah so, um eine
Analogie zu unserem Vorgehen bei totalen Algebren zu schaffen. Es entspricht jedoch nicht der
üblichen, in Abschnitt 3.2.2 in [Wir90] beschriebenen Methode.