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116 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Lemma 5.38 Kofinalität der Approximationen der allgemeinen ς-Reduktionssemantik
in die der ς-Fixpunktsemantik
Sei t ∈ TΣ. Seii := (ΦP,ς) i (⊥ς) ∈ IntΣ,ς für alle i ∈ IN.
Dann existiert zu jedem i ∈ IN ein t ′ ∈ TΣ mit
und
Beweis:
i = 0: Setze t ′ := t und es gilt trivialerweise
i ⇒ i + 1:
t = f(t1, . . .,tn): (f (n) ∈ F( ˙∪ H)).
t
t
∗
−−→ ς t ′
[[t]] alg
i ✂ [[t′ ]] alg
⊥ς .
∗
−−→ ς t ′ und [[t]] alg
i = [[t]]alg ⊥ς = [[t′ ]] alg
⊥ς .
Fall 1: ([[t1]] alg alg
i+1 , . . .,[[tn]] i+1 ) ist mit der linken Seite einer Reduktionsregel f(p)→r ∈ ˆ P
unter einer Variablenbelegung β : X→TC,ς semantisch ς-matchbar.
Es gilt also
[[t]] alg
i+1 = fi+1 ([[t1]] alg alg
i+1 , . . .,[[tn]] i+1 ) = [[r]]alg i,β . (1)
Nach Induktionsvoraussetzung der strukturellen Induktion existieren t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ
mit
und
für alle l ∈ [n].
(2) impliziert
tl
t = f(t1, . . .,tn)
∗
−−→
ς t ′ l (2)
[[tl]] alg
i+1 ✂ [[t′ l]] alg
⊥ς
(3)
∗
−−→
ς f(t ′ 1, . . .,t ′ n) (4)
Aufgrund der Monotonie der algebraischen Termsemantik bezüglich der Algebra
gemäß Lemma 5.16, S. 91, ist
[[t ′ l]] alg
⊥ς ✂ [[t′ l]] alg (5)
für alle∈IntΣ,ς, l ∈ [n].
Aus (3) und (5) folgt mit der nach Lemma 5.10, S. 84, gegebenen Monotonie des
semantischen ς-Matchens, daß für alle Interpretationen∈IntΣ,ς, insbesonderei,
, . . .,[[t ′ n]] alg
) mit f(p) unter einer jeweiligen Variablenbelegung βsemantisch
([[t ′ 1 ]]alg
ς-matchbar ist, und
ist.
β β (6)
Dann ist nach Satz 5.30, S. 110, über syntaktisches und semantisches ς-Matchen
auch (t ′ 1 , . . .,t′ n) mit f(p) unter einer Substitution σ syntaktisch ς-matchbar, und es
gilt
[[ˆtσ]] alg
i (7)
= [[ˆt]] alg
i,βi