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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 113
Satz 5.33 Korrektheit von ς-Reduktionsfolgen in der ς-Fixpunktsemantik
Für alle t, t ′ ∈ TΣ gilt:
t
∗
−−→ t ς ′ =⇒ [[t]] fix
P,ς = [[t ′ ]] fix
P,ς
Beweis:
Folgt direkt aus dem vorhergehenden Lemma 5.32. ✷
5.5 Übereinstimmung der drei ς-Semantiken
Wie wir schon in Kapitel 4 bei der cbn-Semantik erwähnten, verwenden wir für den Beweis der
Übereinstimmung der ς-Fixpunkt und der ς-Reduktionssemantik eine andere Methode als für den
Beweis der Übereinstimmung der cbv-Fixpunkt- und der li-Reduktionssemantik. Die für die cbn-
Semantik genannten Gründe treffen erst recht auf die allgemeineren ς-Semantiken zu. Anstelle der
Verwendung von Datentypen von Grundtermsemantiken beweisen wir direkt die Übereinstimmung
der drei Grundtermsemantiken.
Aus der bekannten Invarianz der algebraischen ς-Fixpunktsemantik folgt so auch direkt die Invarianz
aller drei Grundtermsemantiken. Ein direkter Beweis der Invarianz der allgemeinen ς-
Reduktionssemantik ist zwar möglich, aber der Beweis verläuft analog und ist fast ebenso komplex
wie der in 5.5.2 angegebene Beweis für die Übereinstimmung der ς-Fixpunkt- und der allgemeinen
ς-Reduktionssemantik.
Wir nennen eine Grundtermsemantik [[·]] : TΣ→TC,ς genau dann korrekt bezüglich einer zweiten
Grundtermsemantik [[·]] ′
: TΣ→TC,ς, wenn [[·]] [[·]] ′
gilt, und vollständig , wenn [[·]] [[·]] ′
ist.
Natürlich existieren in der schon genannten Literatur über Funktionsschemata viele Beweise der
Übereinstimmung von Fixpunktsemantiken und verschiedenster Reduktionssemantiken. Diese lassen
sich jedoch nur sehr begrenzt übertragen. [Vui74], [Manna74] und [Dow&Se76] betrachten nur
syntaktisch stark eingeschränkte Funktionsschemata. Fast die gesamte Literatur über Funktionsschemta
betrachtet auch, wie schon erwähnt, nur Basisdatentypen mit einer flachen Halbordnung
und nutzt dies in Beweisen aus, wie wir es bei der cbv-Semantik getan haben.
Außerdem besitzen Funktionsschemata keine Pattern. Nicht jede Stelle eines Terms, an der sich
ein Funktions- oder Hilfssymbol befindet, ist auch eine (ς-)Redexstelle. Für das Patternmatching
haben wir sehr viele Aussagen über syntaktisches und semantisches ς-Matchen beweisen müssen.
Dagegen sind Pattern im Rahmen beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme, wie sie [O’Do77]
behandelt, selbstverständlich. Leider werden dort nur terminierende Reduktionsfolgen und keine
unendlichen Approximationsketten betrachtet. Das in [O’Do77] für den Beweis der Termination
sogenannter eventually outermost Reduktionsfolgen benutzte Prinzip ist jedoch äußerst mächtig,
und wir beweisen damit in 5.5.3 die Vollständigkeit der po-ς-Reduktionssemantik bezüglich der
allgemeinen ς-Reduktionssemantik.
5.5.1 Der Übereinstimmungssatz
Einige Korrektheitsaussagen zwischen den drei Grundtermsemantiken lassen sich relativ leicht beweisen.
Lemma 5.34 Korrektheit der ς-Reduktions- bezüglich der ς-Fixpunktsemantik
[[·]] red
P,ς [[·]] fix
P,ς,