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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 59
Für den durch ein Programm spezifizierten Datentyp D ∈ IntΣ,cbv muß natürlich D = ΦP,cbv(D)
gelten, d. h. D muß ein Fixpunkt der Transformation sein. Die Transformationen der meisten Programme
besitzen allerdings viele Fixpunkte:
undef → undef
Da dieses Programm über den semantischen Wert von undef überhaupt nichts aussagt, ist es sinnvoll,
undef den semantischen Wert für fehlende Information oder Undefiniertheit, ⊥, zuzuordnen.
Entsprechend wählen wir von allen Fixpunkten der Transformation den kleinsten als Datentyp des
Programms. Dieser kleinste Fixpunkt ist praktisch der kleinste gemeinsame Nenner aller Fixpunkte
bezüglich des Informationsgehalts und besitzt somit nur die Eigenschaften, die durch das Programm
eindeutig spezifiziert werden.
Definition 4.5 cbv-Fixpunktdatentyp und cbv-Fixpunktsemantik
Der cbv-Fixpunktdatentyp Dfix des Programms P ist definiert als der kleinste Fixpunkt der
cbv-Transformation ΦP,cbv:
P,cbv
D fix
P,cbv := Fix(ΦP,cbv) =
i∈IN
(ΦP,cbv) i (⊥cbv).
Die cbv-Fixpunktsemantik [[t]] fix
P,cbv des Grundterms t ∈ TΣ bezüglich P ist definiert als die
algebraische Grundtermsemantik von t bezüglich des cbv-Fixpunktdatentyps:
[[t]] fix
P,cbv := [[t]] alg
Dfix .
P,cbv
Hier wird die ω-Vollständigkeit der cbv-Interpretation benötigt. Aus ihr folgt die ω-Stetigkeit der
cbv-Transformation (siehe Kapitel 5) und mit dem Fixpunktsatz von Tarski wissen wir, daß jede
cbv-Transformation einen kleinsten Fixpunkt besitzt. Somit ordnet unsere Fixpunktsemantik
wirklich jedem syntaktisch korrekten Programm genau eine Bedeutung, einen Datentyp zu.
Der Fixpunktsatz gibt uns sogar gewissermaßen eine Methode zur Bestimmung des cbv-Fixpunktdatentyps.
Beginnend mit der kleinsten Interpretation ⊥cbv können wir durch fortwährende Anwendung
der Transformation unseren Datentyp erreichen. Freilich stellt dies kein effektives Verfahren
zur Berechnung des Datentyps dar, da erstens die Iteration im allgemeinen bis ∞ geht, und wir
zweitens Interpretationennicht direkt endlich darstellen können. Interpretationen lassen sich
durch Programme darstellen, womit wir uns aber im Kreis drehen. Somit ist die Fixpunktsemantik
wirklich keine operationelle Semantik, sondern eine denotationelle. Ein Programm denotiert einen
Datentyp.
Diese Methode der iterativen Anwendung der Transformation bildet übrigens die Grundlage der
abstrakten Interpretation (Kapitel 20 in [Fie&Har88]). Damit lassen sich gewisse semantische
Eigenschaften von Programmen — insbesondere für Optimierungszwecke — feststellen.
Beispiel 4.5 Bestimmung eines cbv-Fixpunktdatentyps (siehe Bsp. 3.6, S. 45)
liste1 → []:liste1
liste2 → [[]]:liste2
head(x:xs) → x
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