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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 23
Grundtermen. Wir verwenden Terme mit Variablen nur in den Termersetzungsregeln. Die allgemeine
Definition der Reduktion auch für Terme mit Variablen würde einige der weiteren Definitionen
unnötig komplizieren.
Sei ̺ eine Menge von Reduktionen, den ̺-Reduktionen. Wir schreiben eine ̺-Reduktion A =
u
t −−→ t
l→r ′ u
auch als A = t −−→
l→r,̺ t′ u
oder A = t −−→ t
R,̺
′ . Die ̺-Reduktionsrelation −−→ ⊆ TΣ ×TΣ
R,̺
ist definiert durch
t −−→
R,̺
t ′
Man beachte, daß −−→
R,̺
:⇐⇒ ∃u ∈ RedOccR(t). ∃(l→r) ∈ R. t
eine Relation ist, und t −−→
R,̺
u
−−→
l→r,̺ t′ ist eine ̺-Reduktion.
t ′ somit sowohl eine Aussage als auch ei-
ne Reduktion (ein Tupel) sein kann. In der Literatur wird diese Unterscheidung meistens völlig
unterlassen.
Eine deterministische ̺-Reduktionsrelation −−→ , d. h. bei der für jedes t ∈ TΣ höchstens ein
R,̺
t ′ ∈ TΣ mit t −−→
R,̺
t ′ existiert, heißt sequentielle ̺-Reduktionsstrategie.
Genau dann, wenn t1 −−→ t2, t2 −−→ t3, . . . elementare ̺-Reduktionen sind, heißt A =
t1 −−→
R,̺
t2 −−→
R,̺
R,̺
R,̺
t3 −−→ . . . ̺-Reduktionsfolge. Reduktionsfolgen können hier sowohl endlich als
auch unendlich sein, während in der Literatur oft nur endliche Reduktionsfolgen betrachtet werden
([Huet&Lévy79], [Ber&Lévy77]).
u1 u2 un
Ist A = (t = t1 −−−−→ t2 −−−−→ . . . −−−−→ tn+1 = t
l1→r1 l2→r2 ln→rn
′ ) eine Reduktionsfolge und U :=
{u1, . . .,un} ⊆ RedOccR(t) eine Menge voneinander unabhängiger Redexstellen des Terms t, so
heißt A ′ := 〈t, {〈ui, li→ri〉 | i ∈ [n]}〉 (elementare), (parallele) Reduktion und wir schreiben
A ′ U
= t −−→ t ′ . Aus obigem folgt t/ui = liσi für Substitutionen σi, und daß
R
t ′ = t[ui ← riσi | i ∈ [n]] = t[u1 ← r1σ1] . . .[un ← rnσn]
Aufgrund der gegenseitigen Unabhängigkeit der Redexstellen ist die Reihenfolge der ui bzw. der
elementaren, einfachen Reduktionen irrelevant. Man beachte, daß auch U = ∅ und somit t = t ′ sein
kann.
Die parallele ̺-Reduktion A ′ = t
U
−−→ t
R,̺
′ , die parallele ̺-Reduktionsrelation −−→ , die
R,̺
parallele ̺-Reduktionsstrategie und die parallelen ̺-Reduktionsfolgen ergeben sich analog
zu oben.
In allen obigen Bezeichnungen entfällt ̺, wenn ̺ die Menge aller einfachen Reduktionen bzw. aller
parallelen Reduktionen ist.
Sei T eine Menge und −−→ ̺
und transitive Hülle von −−→
∗
⊆ T × T eine beliebige zweistellige Relation über T. Die reflexive
̺
wird mit
∗
−−→
̺
bezeichnet, die reflexive, transitive und
symmetrische Hülle mit ←→ . ̺
Ein Element t ∈ T heißt genau dann ̺-Normalform, wenn kein t ′ ∈ T mit t −−→ t ̺
′ existiert.
t ′ ∗
∈ T heißt genau dann ̺-Normalform von t ∈ T, wenn t −−→ t ̺
′ und t ′ eine ̺-Normalform ist.
Ist die Normalform eindeutig, so schreiben wir t↓ ̺ := t ′ .
−−→
̺
heißt genau dann stark konfluent, wenn für alle t, t ′ , t ′′ ∈ T mit t −−→
̺
ˆt ∈ T existiert, so daß t ′ −−→
̺
−−→
̺
ˆt und t ′′ −−→
̺
ˆt gilt.
heißt genau dann konfluent, wenn für alle t, t ′ , t ′′ ∈ T mit t
existiert, so daß t ′
∗
−−→
̺
ˆt und t ′′
∗
−−→ ˆt gilt.
̺
t ′ und t −−→
̺
t ′′ ein
∗
−−→ t ̺
′ ∗
und t −−→ t ̺
′′ ein ˆt ∈ T