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6.3. DER PARTIELLE CBV-DATENTYP VON PROGRAMMEN MIT PATTERN 149
Es ist offensichtlich, daß Π und Π −1 tatsächlich zueinander invers sind.
Wir benötigen drei Eigenschaften der Abbildung Π und Π −1 :
Lemma 6.12 Erhalt der Ordnung unter Π und Π 1
Für alle,∈IntΣ,cbv gilt ⊑⇐⇒ Π() ⊑ Π(),
und für alle,∈Int part
Σ,cbv gilt ⊑⇐⇒ Π −1 () ⊑ Π −1 ().
Beweis:
⊑ Wir zeigen die Gültigkeit
g
der ersten Äquivalenz.
⇐⇒ ∀g ∈ Σ. g
⇐⇒ ∀g ∈ Σ. ∀t ∈ (T ⊥ C )n . g(t) ✂ g(t)
⇐⇒ (Flache Halbordnung)
∀g ∈ Σ. ∀t ∈ (T ⊥ C )n . g(t) = ⊥ oder ⊥ = g(t) = g(t)
⇐⇒ (Striktheit aller Operationen)
∀g ∈ Σ. ∀t ∈ (TC) n . g Π() (t) undefiniert oder
g Π() (t) und g Π() (t) definiert und g Π() (t) = g Π() (t)
⇐⇒ (Definition der Halbordnung partieller Abbildungen)
∀g ∈ Σ. g Π() g Π()
⇐⇒ Π() ⊑ Π()
Die Gültigkeit der zweiten Äquivalenz folgt analog (oder direkt aus der Surjektivtät von Π). ✷
Insbesondere sind Π und Π −1 somit auch monoton (bzw. aus der Monotonie und der Bijektivität
folgt obere Eigenschaft).
Lemma 6.13 Übereinstimmung der algebraischen Semantiken
Sei β : X→TC eine Variablenbelegung und t ∈ TΣ ein Term.
Für alle cbv-Interpretationen∈IntΣ,cbv ist entweder
[[t]] alg
= ⊥ und [[t]] ,β alg
Π(),β undefiniert
oder
(⊥ =) [[t]] alg
= [[t]] ,β alg
Π(),β .
Für alle partiellen cbv-Interpretationen∈Int part
Σ,cbv ist entweder
[[t]] alg
undefiniert und [[t]] ,β alg
Π−1 (),β = ⊥
oder
[[t]] alg
= [[t]] ,β alg
Π−1 (),β
(= ⊥).