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56 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
für alle G (n) ∈ C, f (n) ∈ F, condG, selG,i ∈ H und t1, t2, . . . ∈ T⊥ C .
Die ω-vollständige Σ-Algebra=〈T ⊥ C
, ✂, α〉 heißt cbv-Interpretation. Die Menge aller cbv-
Interpretationen zu einer festen Programmsignatur Σ wird mit IntΣ,cbv bezeichnet.
Mit der kanonischen Halbordnungsrelation ⊑ der Σ-Algebren ist 〈IntΣ,cbv, ⊑〉 die kanonische Halbordnung
der cbv-Interpretationen. In der kleinsten cbv-Interpretation ⊥cbv := ⊥IntΣ,cbv ∈ IntΣ,cbv
sind die Ergebniswerte aller Funktions- und Hilfsoperationen konstant ⊥. ✷
In der Definition der cbv-Interpretationen fällt auf, daß alle Operationen — abgesehen von den
Verzweigungsoperationen — als strikt definiert werden. Genau an diesem Punkt geht der cbv-
Auswertungsmechanismus ein, und dies ist der entscheidende Unterschied zur cbn-Interpretation,
die wir in 4.3.1 definieren werden. Da die Argumente einer Funktion vor der Ausführung der Funktion
vollständig ausgerechnet werden, kann der gesamte Funktionsausdruck nicht terminieren, wenn
die Berechnung nur eines Arguments nicht terminiert. Alle Funktionen sind somit strikt; nur die
Verzweigungsoperationen stellen analog zu und aus den gleichen Gründen wie bei der Reduktionssemantik
eine Ausnahme dar.
Die Festlegung der Striktheit der Funktions- und Hilfsoperationen schon in der cbv-Interpretation
ist eigentlich nicht nötig, da sie sich im folgenden auch automatisch ergibt. Wir haben sie nur
der Symmetrie zu den Konstruktoroperationen halber und, da sich dies schon aus dem cbv-
Auswertungsmechanismus unabhängig von einem Programm ergibt, hier festgelegt.
Wir definieren eine cbv-Interpretation als geordnete, ω-vollständige Σ-Algebra und verwenden dabei
die flache Halbordnung mit ⊥ als kleinstem Element. Die Verwendung ω-vollständiger Halbordnungen
und darauf ω-stetiger Abbildungen dient letztendlich allein dem Zweck, in Definition 4.5
einem Programm genau eine ausgezeichnete cbv-Interpretation als Datentyp zuordnen zu können.
Trotzdem kann der Halbordnung eine intuitive Bedeutung zugemessen werden. Die Halbordnung
〈T ⊥ C
, ✂〉 ist eine Ordnung bezüglich des Informationsgehalts. ⊥ als kleinstes Element steht für das
völlige Fehlen von Information. Alle anderen Elemente t ∈ TC sind größer als ⊥, da sie Information
repräsentieren. Sie stellen alle verschiedene Information dar und sind daher nicht miteinander vergleichbar.
Aufgrund dieser Nicht-Vergleichbarkeit stellt die geforderte ω-Stetigkeit der Operationen
auch keine Einschränkung der Operationen über dieser Menge TC dar. Die Menge der durch Programme
beschreibaren Operationen ist also hierdurch diesbezüglich nicht beschränkt. Andererseits
ist die geforderte Monotonie der Operationen über T ⊥ C
auch einleuchtend: Besitzt ein Element b
mehr Information als ein Element a, so erwarten wir von einer Operation ϕ, daß ϕ(b) mehr Information
besitzt als ϕ(a). In nicht-flachen Halbordnungen, wie wir sie ab 4.3.1 betrachten werden,
wird die Abstufung bezüglich des Informationsgehalts noch deutlicher.
Aus der ω-Vollständigkeit der cbv-Interpretationen folgt die ω-Vollständigkeit der Halbordnung
〈IntΣ,cbv, ⊑〉 der cbv-Interpretationen. Wir wollen dies hier nicht beweisen, wie wir überhaupt in
diesem Kapitel auf viele Beweise, insbesondere der Wohldefiniertheit der Fixpunktsemantiken, verzichten.
Hier sollen hauptsächlich die Prinzipien und Konzepte vorgestellt werden. Alle Beweise
werden in Kapitel 5 in einem abstrakteren, allgemeineren Rahmen durchgeführt.
Wir haben hier zum ersten Mal folgende Konvention verwendet: Elemente des Rechenbereichs (T ⊥ C )
werden mit unterstrichenen Kleinbuchstaben t bezeichnet. Die dadurch auch erfolgte Trennung
) ist jedoch mit Vorsicht
von syntaktischen Termen (TΣ) und semantischen Rechentermen (T⊥ C
zu genießen. Die beiden Mengen besitzen gemeinsame Elemente (TΣ ∩ T⊥ C = TC), und in einer
Reduktionssemantik ist der Übergang zwischen beiden praktisch fließend. Es erweist sich außerdem
meistens als unpraktisch, für das gleiche Element t = t sowohl einen syntaktischen (t) als auch
einen semantischen (t) Bezeichner zu verwenden.
Nun definieren wir durch die Reduktionsregeln eines Programms dessen Datentyp. Die Operatio-