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114 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN [[·]] po P,ς [[·]]fix P,ς. Beweis: Sei t ∈ TΣ und t ′ ∗ ∈ TΣ mit t −−→ t ς ′ . Nach Satz 5.33, S. 113, über die Korrektheit einer ς-Reduktionsfolge in der ς-Fixpunktsemantik ist [[t]] fix P,ς = [[t ′ ]] fix P,ς. Es gilt ⊥ς ⊑ Dfix P,ς , und mit der Monotonie der algebraischen Termsemantik bezüglich der Algebra gemäß Lemma 5.16, S. 91, folgt Insgesamt gilt und somit ist [[t]] fix P,ς und es folgt eine obere Schranke für [[t ′ ]] alg ⊥ς ✂ [[t′ ]] alg Dfix = [[t P,ς ′ ]] fix P,ς. [[t ′ ]] alg ⊥ς Tred := {[[t ′ ]] alg ⊥ς Tpo := {[[t ′ ]] alg ⊥ς ✂ [[t]]fix P,ς, | t | t ∗ −−→ t ς ′ } und ∗ −−→ t po,ς ′ } [[t]] red P,ς = Tred [[t]] fix P,ς , [[t]] po P,ς = Tpo [[t]] fix P,ς . Lemma 5.35 Korrektheit der po- bezüglich der allgemeinen ς-Reduktionssemantik Beweis: Sei t ∈ TΣ. Es ist und somit {[[t ′ ]] alg ⊥ς {t ′ | t | t [[·]] po P,ς [[·]]red P,ς ∗ −−→ po,ς t ′ } ⊆ {t ′ ∗ | t −−→ ς t ′ }, ∗ −−→ po,ς t ′ } ⊆ {[[t ′ ]] alg ∗ | t −−→ ⊥ς ς t ′ }. Mit Lemma 2.1, S. 12, über Kofinalität und kleinste obere Schranken folgt Wir wissen nun [[t]] po P,ς = {[[t ′ ]] alg | t ⊥ς ∗ −−→ po,ς t ′ } ✂ {[[t ′ ]] alg | t ⊥ς [[·]] po P,ς [[·]]red P,ς [[·]] fix P,ς. ∗ −−→ ς t ′ } = [[t]] red P,ς. Mit einem Beweis von [[·]] fix P,ς [[·]]po P,ς ließe sich der Kreis schließen, und die Übereinstimmung aller Grundtermsemantiken wäre bewiesen. Leider erweist sich ein solcher Beweis als äußerst problematisch. Daher beweisen wir stattdessen [[·]] fix P,ς [[·]]red P,ς und [[·]]red P,ς [[·]]po P,ς . Da auch diese Beweise aufwendig sind, führen wir sie in 5.5.2 respektive 5.5.3 separat auf, und halten hier schon fest: ✷ ✷
5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 115 Satz 5.36 Übereinstimmung der ς-Fixpunkt und der ς-Reduktionssemantiken Beweis: [[·]] red P,ς [[·]] po P,ς [[·]] red P,ς [[·]] fix P,ς [[·]] red P,ς [[·]]fix P,ς [[·]]fix P,ς [[·]]red P,ς [[·]]red P,ς [[·]]po P,ς [[·]] fix P,ς = [[·]] red P,ς = [[·]] po P,ς . gemäß Lemma 5.34. gemäß Lemma 5.34. gemäß Lemma 5.35. gemäß Lemma 5.39, S. 119. gemäß Lemma 5.50, S. 130. ✷ Aufgrund der Übereinstimmung können wir eine Bezeichnung anstelle der drei verschiedenen verwenden. Definition 5.14 ς-Datentyp, ς-Grundtermsemantik Die ς-Interpretation über Σ DP,ς := D fix P,ς heißt ς-Datentyp und die Abbildung [[·]] P,ς := [[·]] fix P,ς = [[·]] red P,ς = [[·]] po P,ς heißt ς-Grundtermsemantik der ς-Semantik. ✷ Wie angekündigt gilt: Lemma 5.37 Invarianz der ς-Grundtermsemantik Die ς-Grundtermsemantik ist invariant. Beweis: [[·]] P,ς = [[·]] fix P,ς = [[·]]alg Dfix , und die algebraische Grundtermsemantik ist grundsätzlich invariant. ✷ P,ς 5.5.2 Vollständigkeit der allgemeinen ς-Reduktions- bezüglich der ς-Fixpunktsemantik Das von uns verwendete Beweisprinzip ist das folgende: Wir zeigen, daß sich die ς-Fixpunktsemantik eines Terms t ∈ TΣ schreiben läßt als [[t]] fix P,ς = {[[t]] alg i |i = (ΦP,ς) i (⊥ς), i ∈ IN}. Die allgemeine ς-Reduktionssemantik ist bekanntlich definiert durch [[t]] red P,ς = {[[t ′ ]] alg | t ⊥ς ∗ −−→ t P,ς ′ }. Beide Grundtermsemantiken sind also kleinste obere Schranken von Mengen. Wir beweisen, daß die kleinste obere Schranke der ς-Fixpunktsemantik kleiner-gleich der kleinsten oberen Schranke der allgemeinen ς-Reduktionssemantik ist, indem wir zeigen, daß die Menge, von der in der ς- Fixpunktsemantik die kleinste obere Schranke gebildet wird, kofinal in die Menge ist, von der in der allgemeinen ς-Reduktionssemantik die kleinste obere Schranke gebildet wird. Da der folgende Beweis sehr komplex ist, beachte man auch das darauf folgende Beispiel.
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Rheinisch-Westfälische Technische
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2
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Kapitel 1 Einleitung Eine Programmi
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Die Bedeutung der Basisdatentypen w
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Um derartige Semantiken zu finden,
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Kapitel 2 Grundlagen Hier werden in
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2.2. HALBORDNUNGEN 11 • obere Sch
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2.2. HALBORDNUNGEN 13 Bemerkung 2.1
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Kapitel 3 Die Programme Wir geben i
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Kapitel 4 Die Standardsemantiken Na
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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 51 Call-by-na
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Kapitel 8 Nicht-freie Datentypen Wi
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Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausbl
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mächtiges Konzept darstellen, sond
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