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102 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Wie schon die po-Reduktionssemantik der cbn-Semantik werden sowohl die allgemeine als auch
die po-ς-Reduktionssemantik durch die kleinste obere Schranke einer im allgemeinen unendlichen
Menge von Approximationen definiert. Wie dort stellt sich daher die Frage, ob es möglich ist, daß
ein semantischer Wert eines Terms, der ein endlicher, totaler Konstruktorterm ist, nur beliebig
genau approximiert, aber nie erreicht werden kann. Dies ist nicht der Fall.
Lemma 5.21 Berechenbarkeit der ς-Reduktionssemantiken
Sei t ∈ TΣ. Wenn
[[t]] red
P,ς = t ∈ TC bzw. [[t]] po
P,ς = t ∈ TC,
dann existiert die ς-Normalform t↓ P,ς bzw. die po-ς-Normalform t↓ P,po,ς, und es gilt
Beweis:
Sei t = [[t]] red
P,ς = {[[t ′ ]] alg
⊥ς
existiert [[ˆt]] alg
⊥ς ∈ {[[t′ ]] alg
| t ⊥ς
[[t]] red
P,ς = t = t↓ P,ς bzw. [[t]] po
P,ς = t = t↓ P,po,ς.
| t
∗
P,ς
−−→
∗
−−→
P,ς
t ′ } ∈ TC. 〈TC,ς, ✂〉 ist ω-induktiv und t ω-kompakt. Somit
t ′ } mit t = [[ˆt]] alg
⊥ς . Wegen t ∈ TC folgt ˆt = t. Also gilt t
∗
−−→
P,ς ˆt = t,
und t ist die ς-Normalform von t.
Die Aussage über die po-ς-Reduktionssemantik folgt analog. ✷
Zusammen mit der Übereinstimmung der allgemeinen und der po-ς-Reduktionssemantik, die wir
in 5.5 zeigen, läßt sich leicht folgern, daß die ς-Normalform und die po-ς-Normalform eines Terms
übereinstimmen.
Aufgrund der ω-Induktivität der kanonischen Halbordnung des Rechenbereichs sind alle semantischen
Werte schon durch ihre endlichen Approximationen eindeutig bestimmt. Daher können zwei
syntaktische Terme t, t ′ ∈ TΣ unterschiedlicher denotationeller Semantik ([[t]] fix
P,ς = [[t′ ]] fix
P,ς ) immer
operationell unterschieden werden, d. h. bei Hinzunahme von zusätzlichen Funktionssymbolen und
dazugehörigen Programmregeln (die die kompositionelle Semantik nur erweitern) existiert f (n) ∈ F
mit2 ∗
f(t) −−→ t ∈ TC und nicht f(t ′ ∗
) −−→ t.
P,ς
P,ς
Für unseren Programmiersprachen ähnliche Programmiersprachen wird eine derartige Aussage in
[Ra&Vui80] bewiesen. In funktionalen Programmiersprachen höherer Ordnung ist diese erwünschte
fully abstract Eigenschaft von Semantiken jedoch aufgrund der Sequentialität aller Operationen
(siehe Kapitel 7) ein Problem ([Ber&Cur82], [Ca&Fell92]).
5.3.2 ς-Reduktionssemantiken und die li- und die po-Reduktionssemantik
Wir haben die ς-Semantiken als Verallgemeinerung der cbv- und der cbn-Semantik eingeführt.
Bei der Definition der ς-Reduktionssemantiken haben wir jedoch kaum auf die Definitionen der
li- und der po-Reduktionssemantik zurückgegriffen. Wir wollen hier die bestehenden Beziehungen
aufzeigen.
Betrachten wir die Definition der ς-Redexe, so sehen wir, daß die cbv-Redexe genau die innermost
Redexe sind, und alle Redexe cbn-Redexe sind (RedP,cbn = RedP).
2 Da die allgemeine und die po-ς-Reduktionssemantik übereinstimmen, wie wir in 5.5 zeigen, gilt diese Aussage
selbstverständlich auch für po-ς-Reduktion.