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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 127
Beweis:
Wir zeigen durch vollständige Induktion für alle i ∈ IN+:
1. i > 1 =⇒ u /∈ Qi−1.
2. u ∈ OuterR,I(si).
3. u /∈ Vi \ Pi.
i = 1:
1. Offensichtlich.
2. Da V1 \ P1 ⊆ NOuterR,I(s1) und u ∈ OuterR,I(t ′ 1 ) und nach Lemma 5.43 non-outermost
I-Reduktion keine outermost I-Redexstellen erzeugen kann, ist u ∈ OuterR,I(s1).
3. Wegen V1 \ P1 ⊆ NOuterR,I(s1) und u ∈ OuterR,I(s1) nach 2. ist u /∈ V1 \ P1.
i ⇒ i + 1: Folgende Reduktionen sind jetzt von Bedeutung:
Es ist
Vi\Pi
si
ti
si+1
no
ˆPi+1\Pi+1
Qi
ˆsi+1
Wi
Vi+1\ ˆPi+1
t
′ i+1
Wi = Qi \ si Vi\Pi
−−→ ti = Ui \ ti
R,I
Nach den allgemeinen Voraussetzungen gilt
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
Vi+1\Pi+1
Vi −−→ t
R,I
′ i,
Vi+1 \ ˆ Pi+1 = (Vi \ Pi) \ si Qi
−−→ si+1.
R,I
u ∈ OuterR,I(t ′ i+1)
u /∈ Wi
u ∈ OuterR,I(si)
u /∈ Vi \ Pi
Mit Lemma 5.45 über den Erhalt einer outermost I-Redexstelle folgt dann
1. Nach obigem ist u /∈ Qi.
u ∈ OuterR,I(ˆsi+1)
u /∈ Qi ∪ (Vi+1 \ ˆ Pi+1).