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58 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Bemerkung 4.2: Algebraische Termsemantik und Substitution
Die cbv-Transformation ließe sich auch äquivalent mit Applikationen einer Substitution anstelle der
algebraischen Termsemantiken mit Variablenbelegung definieren:
f ΦP,cbv()
⎧
⎪⎨
[[rσ]]
(t) :=
⎪⎩
alg , falls eine Programmregel f(p)→r ∈ P
und eine Substitution σ : Var(p)→TC
mit p1σ = t1, . . .,pnσ = tn existiert
⊥ , andernfalls
(entsprechend für die Hilfsoperationen).
Für eine Variablenbelegung β : Var(p)→TC und eine Substitution σ : Var(p)→TC mit β(x) = xσ
für alle x ∈ Var(p) gilt gemäß des nachfolgenden Lemmas 4.2 über Substitutionsapplikation und
algebraische Termsemantik [[c]] alg
= [[cσ]] ,β alg für alle c ∈ TC und∈IntΣ,cbv. Demnach ist dann
insbesondere
für alle i ∈ [n] und
[[pi]] alg alg
⊥cbv,β = [[piσ]] = piσ
⊥cbv
[[r]] alg
= [[rσ]] ,β alg
.
Somit sind die beiden Definitionen wirklich äquivalent.
Die Verwendung der Substitution hat den Vorteil der größeren Nähe zur Reduktionssemantik.
Daher werden wir diese Variante auch in 4.2.3 beim Beweis der Übereinstimmung von Fixpunktund
Reduktionssemantik verwenden.
Eine Applikation einer Substitution ist im Prinzip eine spezielle algebraische Termsemantik, weshalb
auch die obige Äquivalenz gilt. Für die cbn-Transformation und für die in Kapitel 5 definierte
ς-Transformation können wir leider keine Substitution mehr verwenden. Wir müssen die allgemeineren
algebraischen Termsemantiken einsetzen. Daher erfolgt auch hier schon die Definition der
cbv-Transformation mit algebraischen Termsemantiken. ✷
Lemma 4.2 Substitutionsapplikation und algebraische Termsemantik
Sei Σ eine Signatur,=〈A, α〉 ∈ Alg Σ, σ : X→TΣ(X) eine Substitution und β, β ′ : X→A
Variablenbelegungen.
Es gelte
β(x) = [[xσ]] alg
,β ′
für alle x ∈ X. Dann ist
für alle t ∈ TΣ(X).
Beweis:
t = x ∈ X:
t = g(t1, . . .,tn): (g (n) ∈ Σ).
[[t]] alg
= [[tσ]] ,β alg
,β ′
[[t]] alg
= β(x) ,β Vor.
= [[xσ]] alg
,β ′ = [[tσ]] alg
,β ′.
[[t]] alg
= g([[t1]] ,β alg
, . . . , [[tn]] ,β alg I.V.
) = g([[t1σ]] ,β alg
,β ′, . . . , [[tnσ]] alg
,β ′) = [[tσ]] alg
,β ′.
✷