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3.3. FORMALE SEMANTIKEN 45
Definition 3.7 Normalformsemantik
Die Normalformsemantik
[[·]] nf
P : TΣ→T ⊥ C
ist für einen Term t ∈ TΣ definiert durch
[[t]] nf
P :=
t↓ P , falls t↓ P existiert und t↓ P ∈ TC ist
⊥ , andernfalls
Die Normalformsemantik hat leider eine äußerst unangenehme Eigenschaft: sie ist nicht invariant.
Verschiedene Terme mit gleicher Semantik verhalten sich im gleichen Kontext unterschiedlich, wie
folgendes Beispiel demonstriert:
Beispiel 3.6 Fehlende Invarianz der Normalformsemantik
liste1 → []:liste1
liste2 → [[]]:liste2
head(x:xs) → x
(Dieses Programm mit Pattern läßt sich auch in ein äquivalentes Programm mit Hilfsfunktionen
übersetzen.)
Wie man leicht sieht
liste1 −−→
P
[] : liste1 −−→
P
[] : [] : liste1 −−→
P
besitzen weder liste1 noch liste2 eine Normalform und es ist daher
Aber es gilt
und somit erhalten wir
head(liste1) −−→
P
head(liste2) −−→
P
[[liste1]] nf
P = [[liste2]] nf
P = ⊥.
head([]:liste1) −−→
P
head([[]]:liste2) −−→
P
[[head(liste1)]] nf
P = [] = [[]] = [[head(liste2)]] nf
P .
. . .
[]
[[]],
Auch Terme, deren Teilterme nicht alle eine Normalform besitzen, können selber eine Normalform
haben. ✷
Da Terme zusammengesetzte, strukturierte Gebilde sind, erwarten wir von einer Semantik, daß zwei
Terme, die sich nur in Teiltermen unterscheiden, die den gleichen semantischen Wert besitzen, ebenfalls
semantisch gleich sind. Die Eingabe-Ausgabe-Abbildung soll daher eine Grundtermsemantik
in folgendem Sinne sein.
✷