Download (1405Kb)

60 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Seii := (ΦP,cbv) i (⊥cbv) für alle i ∈ IN.
i = 0 i = 1 i = 2 . . . i = ∞ (Dfix P,cbv =i)
alg
liste1i () ⊥ [[[] : liste1]] ⊥cbv,(liste1↦→⊥) = ⊥ wie i = 1 . . . wie i = 1
alg
liste2i () ⊥ [[[[]] : liste2]] = ⊥ wie i = 1 . . . wie i = 1
headi t ↦→ ⊥
⎛
⎜
⎝
⊥cbv,(liste2↦→⊥) ⎞
⊥ ↦→ ⊥
[] ↦→ ⊥
t 1:t 2 ↦→ t 1
⎟
⎠ wie i = 1 . . . wie i = 1
mit t ∈ T ⊥ C , t 1, t 2 ∈ TC. ✷
Wir geben hier auch noch kurz die Hilfsoperationen an, da diese wie gesagt unabhängig von einem
konkreten Programm sind und zum Basisdatentyp gehören.
Korollar 4.3 Hilfsoperationen des cbv-Fixpunktdatentyps
cond Dfix
P,cbv
G
(t 1, t 2, t 3) =
sel Dfix
P,cbv
G,i (t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⊥ , falls t 1 = ⊥
t 2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = t 1 (= ⊥) existiert
t 3 , andernfalls
β(xi) , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = t (= ⊥) existiert
⊥ , andernfalls
für alle condG, selG,i ∈ H und t, t 1, t 2, t 3 ∈ T ⊥ C .
Beweis:
Ergibt sich direkt aus der cbv-Transformation. ✷
Es stellt sich nun die Frage, ob diese cbv-Fixpunktsemantik gleich der li-Reduktionssemantik ist,
oder ob wir wohlmöglich zwei verschiedene statt einer cbv-Semantik definiert haben.
4.2.3 Übereinstimmung der Reduktions- und der Fixpunktsemantik
Obwohl die Definitionen der li-Reduktions- und der cbv-Fixpunktsemantik viele Ähnlichkeiten aufweisen,
ist ein direkter Beweis der Gleichheit der beiden Grundtermsemantiken [[·]] li P und [[·]]fix P,cbv
ziemlich schwierig. Eine strukturelle Induktion über den Termaufbau ist nicht möglich. Eine Induktion
über die Anzahl der li-Reduktionsschritte bis zur Normalform läßt uns noch das nicht-triviale
Problem übrig, zu zeigen, daß für alle Terme t ∈ TΣ, die keine li-(Konstruktor)normalform besitzen
[[t]] fix
P,cbv = ⊥ gilt. Auch zu zeigen, daß Dfix P,cbv ein Datentyp der Grundtermsemantik [[·]]li P ist, erweist
sich als ähnlich schwierig.
Wir verwenden daher hier eine ganz andere Beweismethode. Wir definieren zu der li-Reduktions-
semantik [[·]] li P einen Datentyp Dli P
, und zeigen dann, daß dieser gleich dem cbv-Fixpunktdatentyp
Dfix P,cbv ist.
Wir haben allerdings schon festgestellt, daß es im allgemeinen mehrere Datentypen einer Grundtermsemantik
gibt. Das Problem liegt darin, daß zu einem (semantischen) Rechenterm, d. h. einem
Element des Trägers, eventuell kein syntaktischer Term existiert, der den Rechenterm denotiert.
Diese Möglichkeit existiert auch bei der li-Reduktionssemantik, nämlich, wenn es keinen undefi-
”
nierten“ Term gibt, d.h. kein t⊥ ∈ TΣ mit [[t⊥]] li P = ⊥. In diesem Fall müssen wir, um genau einen
Datentyp zu erhalten, die Definition des Datentyps der li-Reduktionssemantik ergänzen“.
”