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160 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
Offensichtlich sind durch Programme mit Pattern auch nicht-sequentielle Operationen spezifizierbar.
Dagegen sind alle durch Programme mit Hilfsfunktionen spezifizierbaren Operationen sequentiell.
Dies beweisen wir im folgenden durch eine Reihe von Lemmata. Im wesentlichen zeigen wir, daß
alle Operationen der kleinsten ς-Interpretation ⊥ς sequentiell sind, daß bei Anwendung der Transformation
ΦP,ς eines Programms mit Hilfsfunktionen, P, wiederum nur sequentielle Operationen
entstehen, und daß die Sequentialität bei Bildung der kleinsten oberen Schranke erhalten bleibt.
Lemma 7.1 Sequentialität der Projektionen
Sei n ∈ IN und i ∈ [n]. Die Projektion
die durch
definiert ist, ist sequentiell.
Πi,n : (TC,ς) n →TC,ς,
Πi,n(t1, . . .,tn) := ti
Beweis:
Die Projektion Πi,n ist monoton.
Sei t ∈ (TC,ς) n mit Occ(⊥,t) = ∅. Sei u ′ ∈ Occ(⊥, Πi,n(t)) = Occ(⊥, t i). Dann ist u := i.u ′ ein
Sequentialitätsindex von Πi,n für t bezüglich u ′ . ✷
Lemma 7.2 Sequentialität der Komposition sequentieller Abbildungen
Seien m, n ∈ IN und ϕ : (TC,ς) m →TC,ς und ϕ1, . . .,ϕm : (TC,ς) n →TC,ς sequentielle Abbildungen.
Dann ist ψ := ϕ ◦ (ϕ1, . . . , ϕm) : (TC,ς) n →TC,ς eine sequentielle Abbildung.
Beweis:
ψ ist monoton, denn ist t ′ ☎t ∈ (TC,ς) n , so ist (ϕ1( t ′ ), . . .,ϕm( t ′ )) ☎ (ϕ1(t), . . .,ϕm(t)), und damit
ψ( t ′ ) ☎ ψ(t).
Sei t ∈ (TC,ς) n mit Occ(⊥,t) = ∅ und u ′ ∈ Occ(⊥, ψ(t)) = Occ(⊥, ϕ(ϕ1(t), . . .,ϕm(t))).
Fall 1: Occ(⊥, (ϕ1(t), . . .,ϕm(t))) = ∅.
Dann existiert kein t ′′ ∈ (TC,ς) m mit t ′′ ✄ (ϕ1(t), . . .,ϕm(t)). Wegen der Monotonie von ϕ ist
damit für alle t ′ ☎t
ψ( t ′ ) = ϕ(ϕ1( t ′ ), . . .,ϕm( t ′ )) = ψ(t).
Also ist auch ψ( t ′ )/u ′ = ψ(t)/u ′ = ⊥ für alle t ′ ☎ t. Somit ist jede Stelle u ∈ Occ(⊥,t) ein
Sequentialitätsindex von ψ für t bezüglich u ′ .
Fall 2: Sonst.
Da ϕ sequentiell ist, existiert ein Sequentialitätsindex v = i.v ′ ∈ Occ(⊥, (ϕ1(t), . . .,ϕm(t)))
von ϕ für (ϕ1(t), . . .,ϕm(t)) bezüglich u ′ mit i ∈ [m], d. h.:
∀ t ′′ ☎ (ϕ1(t), . . .,ϕm(t)). (ϕ( t ′′ )/u ′ = ⊥ =⇒ t ′′
i /v ′ = ⊥).
Aufgrund der Monotonie der ϕ1, . . .,ϕm gilt damit insbesondere
∀ t ′ ☎t. (ψ( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ ϕi( t ′ )/v ′ = ⊥).