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112 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
5.4.3 Korrektheit der ς-Reduktion
Wir zeigen die Korrektheit von ς-Reduktionsfolgen in der ς-Fixpunktsemantik in mehreren Schritten.
Lemma 5.31 Korrektheit der ς-Reduktion in Fixpunkten der ς-Transformation, I
Sei f(p)→r eine Reduktionsregel, σ : X→TΣ eine Substitution und=ΦP,ς() ∈ IntΣ,ς. Sei f(p)σ
ein ς-Redex. Dann gilt:
[[f(p)σ]] alg =
[[rσ]] alg
.
Beweis:
Da f(p)σ ein ς-Redex ist, ist nach Definition des syntaktischen ς-Matchens (p1σ, . . .,pnσ) mit f(p)
unter σ syntaktisch ς-matchbar.
Mit Lemma 5.30 über syntaktisches und semantisches ς-Matchen folgt dann:
([[p1σ]] alg
, . . .,[[pnσ]] alg
) ist mit f(p) unter β: X→TC,ς, definiert durch β(x) := [[xσ]] alg für
x ∈ X, semantisch ς-matchbar; es gilt also
,β
f ΦP,ς() ([[p1σ]] alg
, . . .,[[pnσ]] alg
) = [[r]] alg
alle
und außerdem ist
[[r]] alg
,β= [[rσ]] alg
. (2)
Daein Fixpunkt von ΦP,ς ist, gilt:
[[f(p)σ]] alg = f([[p1σ]] alg
, . . .,[[pnσ]] alg
) = f ΦP,ς()
([[p1σ]] alg
, . . .,[[pnσ]] alg
). (3)
Insgesamt folgt:
[[f(p)σ]] alg
(3)
ΦP,ς()
= f ([[p1σ]] alg
, . . . , [[pnσ]] alg
) (1)
= [[r]] alg
,β(2)
alg
= [[rσ]] .
Lemma 5.32 Korrektheit der ς-Reduktion in Fixpunkten der ς-Transformation, II
Sei=ΦP,ς() ∈ IntΣ,ς. Für alle t, t ′ ∈ TΣ gilt:
t −−→ ς t ′ =⇒ [[t]] alg = [[t ′ ]] alg
.
Beweis:
u
Sei t −−→
ς t ′ eine Reduktion. Nach Definition der Reduktion ist
t/u = lσ , d. h. t = t[u ← lσ]
t ′ = t[u ← rσ]
für eine Reduktionsregel l→r ∈ ˆ P und eine Substitution σ. Da eine ς-Reduktion vorliegt, ist lσ ein
ς-Redex. Mit dem vorhergehenden Lemma 5.31 folgt
[[t]] alg =
[[lσ]] alg =
[[t[u ← lσ]]] alg =
[[rσ]] alg
.
[[t[u ← rσ]]] alg =
Aus der Invarianz der algebraischen Termsemantik folgt dann direkt
[[t ′ ]] alg
.
(1)
✷
✷