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142 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Definition 6.6 Gültigkeit£, ς-Interpretationsmodell£
Eine Termersetzungsregel l→r mit l, r ∈ TΣ(X) ist in einer ς-Interpretation∈IntΣ,ς genau dann
gültig£, wenn für alle Variablenbelegungen β : X→TC,ς \ {⊥}
[[l]] alg
= [[r]] ,β alg
,β
gilt. Eine ς-Interpretation∈IntΣ,ς heißt genau dann ς-Interpretationsmodell£des Programms
P, wenn alle Reduktionsregeln des Programms P ingültig ∗ sind.
Die Menge aller ς-Interpretationsmodelle wird mit IntMod ∗ P,ς bezeichnet. ✷
Lemma 6.8 Charakterisierung des semantischen ς-Matchens
Sei f (n) (p) ∈ RedSP und β : Var(p)→TC,ς \ {⊥}. t ∈ (TC,ς) n ist genau dann mit f(p) vermittels β
semantisch ς-matchbar, wenn für alle i ∈ [n]
Beweis:
[[pi]] alg
⊥ς,β = t i.
⇒: Folgt direkt aus der Definition 5.5, S. 76, des semantischen ς-Matchens.
⇐: Nach Lemma 5.5, S. 80, über Variablenbelegungen ohne ⊥ gilt für alle i ∈ [n]
d. h.
pi[⊥/Var(pi)] ✁ [[pi]] alg
⊥ς,β ,
pi[⊥/Var(pi)] ✁ t i.
Somit ist f auch nicht erwungen strikt fürt, und nach Definition 5.5, S. 76, des semantischen
ς-Matchens ist t also mit f(p) vermittels β semantisch ς-matchbar.
✷
Lemma 6.9 ς-Fixpunkte ⊆ IntMod£È
Sei∈IntΣ,ς ein Fixpunkt der ς-Transformation ΦP,ς. Dann istein ς-Interpretationsmodell des
Programms P.
Beweis:
ist ein Fixpunkt von ΦP,ς.
=⇒ (Definition)
Für alle Reduktionsregeln f (n) (p)→r ∈ ˆ P, alle t ∈ (TC,ς) n und alle β : Var(p)→TC,ς, so daß
t mit f(p) vermittels β semantisch ς-gematcht wird, gilt
f(t) = [[r]] alg
,β .