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6.3. DER PARTIELLE CBV-DATENTYP VON PROGRAMMEN MIT PATTERN 147
Definition 6.11 Gültigkeit, Partielles Modell
(vgl. mit Def. 6.1, S. 133, und auch mit Def. 6.6, S. 142)
Eine Termersetzungsregel l→r mit l, r ∈ TΣ(X) ist in einer partiellen Algebra=〈A, α〉 ∈ Alg part
Σ
genau dann gültig, wenn für alle Variablenbelegungen β : X→A
entweder [[l]] alg
und [[r]] ,β alg
undefiniert sind ,β
oder [[l]] alg
= [[r]] ,β alg
,β gilt.
Eine Algebra∈Alg part
Σ heißt genau dann partielles Modell des Programms P, wenn alle
Reduktionsregeln des Programms P ingültig sind.
Die Klasse aller partiellen Modelle des Programms P wird mit Mod part
P bezeichnet. ✷
Die für den Begriff der Gültigkeit einer Termersetzungsregel definierte Art von Gleichheit heißt
starke Gleichheit (strong equality). In der Literatur findet man noch eine zweite, andere Inter-
pretation der Gleichheit, die existenzielle Gleichheit (existential equality). Hierbei heißt eine
Termersetzungsregel l→r genau dann gültig in einer partiellen Algebra=〈A, α〉 ∈ Alg part
Σ , wenn
für alle Variablenbelegungen β : X→A [[l]] alg
,β und
[[r]] alg
,β definiert
sind und [[l]] alg
,β =
[[r]] alg
,β ist.
Unsere Wahl der starken Gleichheit läßt sich sehr einfach anhand des schlichten Programms
a → a
begründen. Bei Verwendung der existenziellen Gleichheit müßte ain jedem Modelldes Programms
definiert sein. Wir wollen jedoch, daß in dem im weiteren definierten partiellen cbv-
Datentyp die Operation von a undefiniert ist, da das Programm keine Information über den
semantischen Wert von a liefert. Bei existenzieller Gleichheit würde schon das Erscheinen eines
Funktionssymbols auf einer rechten Programmregelseite zur Definiertheit seiner Operation führen.
Ein kleinstes partielles cbv-Interpretationsmodell — wie wir es im weiteren definieren — würde bei
existenzieller Gleichheit im allgemeinen nicht existieren.
Spätestens jetzt ist auch eine Bemerkung zur Bedeutung der Gleichheit in unserer Metasprache
angebracht. Wir vergleichen in diesem Abschnitt häufig die Ergebnisse partieller Abbildungen. a = b
soll implizieren, daß a und b definierte Ausdrücke sind. Wir verwenden also in der Metasprache die
existenzielle Gleichheit. Die definierende Gleichheit a := b wird nur verwendet, wenn b definiert
ist, und impliziert selbstverständlich, daß auch a definiert ist. Wir geben jedoch die Undefiniertheit
von Ausdrücken auch oft explizit an.
Definition 6.12 Partielle cbv-Interpretation
(vgl. mit Def. 4.3, S. 55, der cbv-Interpretation)
Sei∈Alg part
Σ (TC) eine partielle Algebra mit dem Träger TC. Sei
G(t) := G(t)
für alle G (n) ∈ C, t ∈ (TC) n . Dann heißtpartielle cbv-Interpretation Die Menge aller cbv-
Interpretationen bezeichnen wir mit Int part
Σ,cbv .
〈Int part
Σ,cbv , ⊑〉 ist die kanonische Halbordnung aller partiellen cbv-Interpretationen entsprechend Definition
6.9. ✷