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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 119
([[t ′ 1 ]]alg
1 ) = (G(A)) ist mit f(x) unter der Variablenbelegung β1 = (x ↦→ G(A)) semantisch ςmatchbar,
und es ist
β = (x ↦→ G(⊥)) (x ↦→ G(A)) = β1. (6 ′ )
Auch ist (G(a)) mit f(x) unter der Substitution σ = [G(a)/x] syntaktisch ς-matchbar.
Es gilt somit
f(G(a)) −−→
ς xσ = G(a), (8)
und außerdem
Aus (6 ′ ) folgt auch
[[x]] alg
1,β1
Schließlich existiert t ′ := G(A) ∈ TΣ mit
= β1(x) = G(A) = [[G(a)]] alg
1
= [[xσ]]alg 1 . (9)
[[x]] alg
1,β = β(x) = G(⊥) ✂ G(A) = [[x]]alg . (10) 1,β1
xσ = G(a) −−→
ς G(A) = t ′
und
[[xσ]] alg
1 = [[G(a)]]alg 1 = G(A) ✂ G(A) = [[t′ ]] alg
. ⊥ς
(12)
Insgesamt ergeben nun (4), (8) und (11) zusammen
und
[[f(h(A))]] alg
2
t = f(h(A))
∗
−−→
ς f(G(a)) −−→
ς G(a) −−→
ς G(A) = t ′
(1)
(10)
alg
= [[x]] 1,β = G(⊥) ✂ G(A) = [[x]] alg
1,β1
(9) (12)
alg
= [[xσ]] 1 ✂ G(A) = [[t ′ ]] alg
⊥ς .
Lemma 5.39 Vollständigkeit der allgemeinen ς-Reduktions- bezüglich der
ς-Fixpunktsemantik
[[·]] fix
P,ς [[·]] red
P,ς.
Beweis:
Sei t ∈ TΣ. Seii := (ΦP,ς) i (⊥ς) ∈ IntΣ,ς für alle i ∈ IN.
Nach dem vorhergehenden Lemma 5.38 ist {[[t]] alg
i | i ∈ IN} kofinal in {[[t ′ ]] alg
⊥ς
Lemma 2.1, S. 12, über Kofinalität und kleinste obere Schranken folgt
Es gilt:
i∈IN
[[t]] alg
i ✂ {[[t ′ ]] alg
⊥ς
(ω-Stet. der alg. Termsemantik
bzgl. der Algebra gemäß Lemma 5.16)
| t
∗
−−→
ς t ′ }.
[[t]] fix
P,ς
(Definition) = [[t]] alg
D fix
P,ς
(Definition) = [[t]] alg
⊔i∈INi
=
i∈IN
[[t]] alg
i
(s.o.) ✂ {[[t ′ ]] alg
⊥ς
(Definition) = [[t]] red
P,ς.
| t
| t
∗
−−→
ς t ′ }
(11)
✷
∗
−−→
ς t ′ }, und mit
✷