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136 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Beweis:
Seien f (n) ∈ F( ˙∪ H) und c ∈ (TC) n beliebig. Da P ausreichend vollständig ist, existiert f(c)↓ P
t ′ existieren. Da das
und es ist f(c)↓ P ∈ TC. Weil f(c) /∈ TC, muß ein t ′ ∈ TΣ mit f(c) −−→
P
äußerste Symbol ˆ l(ε) aller Redexe ˆ l ein Funktions- oder Hilfssymbol ist, erfolgt die Reduktion an
der Stelle ε in f(c). Somit ist f(c) ein Redex. ✷
Allein die Vollständigkeit der Redexschemata garantiert schon, daß alle Normalformen Konstruktorterme
sind. Dies gilt sogar für die ς-Reduktion mit einer beliebigen erzwungenen Striktheit ς.
Lemma 6.2 (ς-)Normalformen im Falle vollständiger Redexschemata
Sei RedSP vollständig. Sei t ∈ TΣ ein Term, dessen ς-Normalform t↓ P,ς existiert. Dann existiert
auch die Normalform t↓ P und es gilt
t↓ P,ς = t↓ P ∈ TC.
Insbesondere gilt für eine existierende Normalform t↓ P
t↓ P ∈ TC.
Beweis:
Sei ˆt := t↓ P,ς für einen Term t ∈ TΣ.
Angenommen, ˆt /∈ TC. Dann existiert eine Stelle u ∈ Occ(ˆt) mit ˆt(u) = f (n) ∈ F( ˙∪ H) und
ci := t/u.i ∈ TC für alle i ∈ [n]. Aufgrund der Vollständigkeit der Redexschemata ist ˆt/u = f(c)
ein Redex. Da [[c1]] alg
⊥ς = c1 = ⊥, . . .,[[cn]] alg
⊥ς = cn = ⊥, ist ˆt/u auch ein ς-Redex. Dies steht im
Widerspruch zu der Voraussetzung, daß ˆt eine ς-Normalform ist.
Also ist ˆt ∈ TC und somit auch ˆt = t↓ P.
Die Aussage über t↓ P gilt, da t↓ P,cbn = t↓ P. ✷
Natürlich impliziert die Vollständigkeit der Redexschemata alleine noch nicht die ausreichende
Vollständigkeit eines Programms.
ist ein triviales Gegenbeispiel. Aber es gilt:
a → a
Lemma 6.3 Ausreichende Vollständigkeit terminierender Programme mit vollständigen
Redexschemata
Das Programm P bzw. seine Reduktionsrelation −−→ sei terminierend und die Menge seiner
P
Redexschemata vollständig. Dann ist P ausreichend vollständig.
Beweis:
Sei t ∈ TΣ beliebig. Da P terminierend ist, existiert die Normalform t↓P. Nach Lemma 6.2 folgt
∗
aus der Vollständigkeit der Redexschemata, daß t↓P ∈ TC, d.h. t −−→ t↓
P P ∈ TC. Also ist P
ausreichend vollständig. ✷
Die Termination des Programms wird sowieso schon für die Wohldefiniertheit des Normalformmodells
benötigt. Für die ausreichende Vollständigkeit eines Programms brauchen wir somit nur noch
die Vollständigkeit der Redexschemata zu fordern.
Interessant ist übrigens, daß Programme zwar aufgrund ihrer Eindeutigkeitsbedingung in einem
gewissen Sinne deterministisch sind — zu jedem Redex existiert nur genau ein Term, durch den
der Redex in einem Reduktionsschritt ersetzt werden kann —, aber die naheliegende Vermutung,
daß jedes ausreichend vollständige Programm terminiert, ist falsch, wie das folgende Beispiel demonstriert.