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3.2. DIE REDUKTIONSRELATIONEN 43
Reduktionsregeln fest definiert und nicht durch den Programmierer veränderbar. Somit können diese
in Implementationen direkt effizient, ohne ein explizites Patternmatching, codiert werden (vgl.
mit Stackcode für die Verzweigung in rekursiven Funktionsdefinitionen in [Ind93]).
Das assoziierte Termersetzungssystem eines Programms dient nun als Grundlage operationeller
Semantiken. Es hat die folgende entscheidende Eigenschaft:
Lemma 3.1 Beinahe Orthogonalität assoziierter Termersetzungssysteme
Das assoziierte Termersetzungssystem jedes Programms (mit Pattern oder mit Hilfsfunktionen) ist
beinahe orthogonal.
Beweis:
Assoziierte Termersetzungssysteme sind linkslinear, und die Erfüllung der Eindeutigkeitsbedingung
beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme folgt direkt aus der eingeschränkten Form linker Regelseiten
und der Eindeutigkeitsbedingung der Programme mit Pattern bzw. mit Hilfsfunktionen.
Auch die Reduktionsregeln der Hilfssymbole sind linkslinear und erfüllen die Eindeutigkeitsbedingung
der Programme mit Pattern. ✷
Somit gelten alle Eigenschaften beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme auch für Programme
bzw. deren assoziierte Termersetzungssysteme. Insbesondere ist die Reduktionsrelation −−→
ˆP
eines assoziierten Termersetzungssystems ˆ P konfluent; eine entscheidende Voraussetzung für die
Wohldefiniertheit operationeller Semantiken, wie wir noch feststellen werden.
In Anbetracht der Tatsache, daß wir die Reduktionsrelationen eines Termersetzungssystems nur auf
Grundtermen definiert haben, wird hier nicht deutlich, daß die Reduktionsrelation −−→ eines bei-
R
nahe orthogonalen Termersetzungssystems R auch über der Menge aller Terme TΣ(X) konfluent ist.
Wir benötigen jedoch nur Grundkonfluenz. Die Menge der grundkonfluenten Termersetzungssysteme
ist echt größer als die Menge der konfluenten Termersetzungssysteme. Da jedoch Grundkonfluenz
eine weitaus schwieriger zu verifizierende Eigenschaft als Konfluenz ist ([KNO90]), verzichten wir
auf die Untersuchung diesbezüglich eventuell möglicher größerer Freiheitsgrade der Syntax unserer
Programme.
Die Bedeutung der Eindeutigkeitsbedingung der Programme und der Forderung der Linkslinearität
ist somit klar. Freilich mag es scheinen, daß in Anbetracht der übrigen syntaktischen Einschränkungen
die Linkslinearität überflüssig wäre. Das folgende Beispiel demonstriert jedoch, daß dann die
Konfluenz verloren ginge.
Beispiel 3.5 Fehlende Konfluenz bei fehlender Linkslinearität (S.174 in [Klop87])
d(x,x) → E
c(x) → d(x,c(x))
a → c(a)
Für den Term c(a) gibt es die zwei Reduktionsketten
c(a) −−→ d(a,c(a)) −−→ d(c(a),c(a)) −−→ E
c(a) −−→ c(c(a)) −−→ c(d(a,c(a))) −−→ c(d(c(a),c(a))) −−→ c(E)
Die beiden Terme E und c(E) lassen sich jedoch nicht zu einem gemeinsamen Term reduzieren. E
ist bereits in Normalform und c(E) läßt sich nicht zu E reduzieren. c(E) besitzt überhaupt keine
Normalform. ✷