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140 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Beispiel 6.4 IntModÈ ⊆ ς-Fixpunkte
f(A) → A
f sei nicht erzwungen strikt an seiner einzigen Argumentstelle, d. h. ς(f) = (ff).
∈IntΣ,ς mit f(⊥) := f(A) := A ist ein Modell des Programms, aber wegen f(⊥) = ⊥ kein
Fixpunkt von ΦP,ς. ✷
Der Grund für das Fehlen dieser Eigenschaft liegt darin, daß gemäß der Definition der ς-
Transformation in einem Transformationsschritt fΦP,ς() (t) := ⊥ gesetzt wird, wenn sich t mit
keiner zu f gehörenden linken Reduktionsregelseite semantisch ς-matchen läßt. In Modellen′ des
Programms können diese Werte f′
(t) dagegen beliebig gesetzt sein, zumindestens solange solche
Symbole f nicht auf irgendwelchen rechten Reduktionsregelseiten auftauchen.
In der in Abschnitt 5.2.5 betrachteten alternativen Transformation Φ ∗ P,ς erfolgt dieses ”
Setzen auf
⊥“ nicht. Daher ist tatsächlich jede ς-Interpretation ∗ , die ein Modell ist, ein Fixpunkt von Φ ∗ P,ς .
Da diese Eigenschaft jedoch von keinem großen Interesse ist, verfolgen wir sie nicht weiter.
In einem anderen Zusammenhang ist der Begriff des ς-Interpretationsmodells sehr nützlich. Die
ς-Interpretationen verkörpern das Konzept des Basisdatentyps. Die ς-Interpretationen sind jene
Algebren, die unabhängig von einem konkreten Programm als ς-Datentypen in Frage kommen
(wir vernachlässigen hierbei die Hilfsoperationen). Aus Lemma 6.5 wissen wir, daß der cbn-
Datentyp ein Modell ist. Somit ist der cbn-Datentyp ein cbn-Interpretationsmodell. Es zeigt sich,
daß wir den cbn-Datentyp mit Hilfe der cbn-Interpretationsmodelle sogar sehr schön charakterisieren
können: Der cbn-Datentyp DP,cbn ist zwar nicht die initiale, aber die kleinste Algebra der
cbn-Interpretationsmodelle IntModP,cbn.
Für den Beweis, der übrigens ähnlich dem des Fixpunktsatzes von Tarski ist, benötigen wir das
folgende Hilfslemma.
Lemma 6.6 Über cbn-Interpretationsmodelle
Seiein cbn-Interpretationsmodell des Programms P. Dann gilt
ΦP,cbn() ⊑.
Beweis:
Gemäß der Definition der cbn-Interpretationen ist für alle Konstruktorsymbole G ∈ C
Seien f (n) ∈ F( ˙∪ H) und t ∈ (TC,cbn) n beliebig.
G ΦP,cbn() = G.
Fall 1: t wird mit der linken Seite einer Reduktionsregel f(p)→r vermittels einer Variablenbelegung
β : Var(p)→TC,cbn semantisch cbn-gematcht.
Dann ist
f ΦP,cbn() (t) = [[r]] alg
,β .
Daein Modell des Programms P ist, gilt auch
Somit folgt
f(t) = [[f(p)]] alg
= [[r]] ,β alg
,β .
f ΦP,cbn() (t) = f(t).