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Kapitel 2
Grundlagen
Hier werden in kompakter Form die grundlegenden Begriffe und deren Eigenschaften dargestellt,
die wir in den weiteren Kapiteln brauchen werden. Leider ist die in der Literatur verwendete Notation
sehr uneinheitlich, und häufig werden auch verschiedene Dinge gleich bezeichnet. Es wurde
jedoch versucht, sich an wenigen Standardwerken zu orientieren, und nur für neue Konzepte, die
hauptsächlich natürlich erst in den folgenden Kapiteln eingeführt werden, eine eigene Notation einzuführen.
Auf diese Werke sowie auf ausführlichere Einführungen in die Gebiete und auch Beweise
der angegebenen Eigenschaften wird jeweils hingewiesen.
Der Leser kann diese Kapitel also kurz überfliegen und im weiteren — mit Hilfe des Indexes —
zum Nachschlagen verwenden. Es sei allerdings darauf hingewiesen, daß einige Begriffe der Termersetzungssysteme
und insbesondere der beinahe orthogonalen hier in einer ungewöhnlichen und
etwas allgemeineren Form als üblich definiert werden, was sich bei ihrer späteren Verwendung als
nützlich erweisen wird.
Viele Abhängigkeiten definierter Begriffe von anderen Begriffen werden durch entsprechende Indizes
ausgedrückt. So ist beispielsweise −−→ die Reduktionsrelation eines Termersetzungssystemes R.
R
Im weiteren Gebrauch werden diese Indizes jedoch oft weggelassen ( −−→). Sie ergeben sich dann
aus dem Zusammenhang.
2.1 Allgemeines
Die Grundlagen der ” naiven“ Mengentheorie, wie sie von Georg Cantor geprägt wurden, werden
als bekannt vorausgesetzt. Jedoch ist dieser Mengenbegriff problematisch, da seine konsequente
Durchführung zu Widersprüchen führt. In dieser Arbeit erscheinen einige ” Kollektionen von Objekten“,
deren Bezeichnung als Mengen genau zu diesen Widersprüchen führen würde. Diese werden
darum Klassen genannt. Jede Menge ist auch eine Klasse, jedoch nicht umgekehrt. Auf Klassen
können nicht mehr alle Operationen der ” naiven“ Mengenlehre angewendet werden.
Konkret betrifft dies hier die in 2.3 eingeführten Algebren. Vereinfacht gesagt besteht eine Algebra
aus einer beliebigen nicht-leeren Menge A und einer bestimmten Abbildung α. Die Kollektion aller
Σ-Algebren Alg Σ ist eine Klasse aber keine Menge, denn wäre sie eine Menge, ergäbe sich folgende
Variante von Russels Paradoxon:
Definiere R := {=〈A, α〉 ∈ Alg Σ |/∈ A}. Ist nun eine Algebra 〈R, αR〉 ∈ R ? Wenn ja, so
folgt aus der Eigenschaft aller Element der Menge R, daß 〈R, αR〉 /∈ R. Wenn nein, so muß nach
Definition 〈R, αR〉 ∈ R sein. Beide Möglichkeiten führen also zu Widersprüchen.
Hier soll jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden. Eine Einführung in die axiomatische