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18 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
Ist σ(y) = t für alle y ∈ Y , so schreiben wir auch
σ = [t/Y ].
Eine Substitution σ : Y →TΣ heißt Grundsubstitution.
Ist Y, Z ⊆ X, so läßt sich eine Substitution σ : Y →TΣ(Z) kanonisch fortsetzen zu ¯σ : X→TΣ(X)
mit
¯σ(x) :=
und weiter zu ˆσ : TΣ(X)→TΣ(X) mit
σ(x) , falls y ∈ Y
x , andernfalls
ˆσ(x) := ¯σ(x) , x ∈ X
ˆσ(f(t1, . . .,tn)) := f(ˆσ(t1), . . ., ˆσ(tn)).
Wir schreiben immer nur σ für ¯σ und ˆσ. Außerdem schreiben wir die Applikation einer Substitution
grundsätzlich in Präfixschreibweise; d. h. yσ anstelle von σ(y). Oft schreiben wir auch
σ : X→TΣ(Z), obwohl die Substitution σ nur auf einer endlichen Teilmenge von X ungleich der
Identität ist.
Für alle Terme t ∈ TΣ(X) und Grundsubstitutionen σ : Y →TΣ mit Var(t) ⊆ Y gilt tσ ∈ TΣ. Für
alle Terme t ∈ TΣ(X) und Substitutionen σ : Y →TΣ(Z) (Y, Z ⊆ X) ist tσ = tσ| Var(t) = tσ| Var(t)∩Y .
tσ heißt Instanz des Terms t. Ist tσ ∈ TΣ, so heißt es Grundinstanz von t.
Zwei Terme t, t ′ ∈ TΣ(X) heißen genau dann unifizierbar, wenn zwei Substitutionen σ, σ ′ :
X→TΣ(X) mit tσ = t ′ σ ′ existieren. 5
Eine Liste von positiven natürlichen Zahlen heißt Stelle. IN ∗ + ist somit die Menge aller Stellen.
Die Menge der in einem Term t ∈ TΣ(X) vorkommenden Stellen (Occurences), Occ(t) ⊆
IN ∗ +, ist die kleinste Menge mit
• ε ∈ Occ(t) und
• t = f(t1, . . .,tn), u ∈ Occ(ti), i ∈ [n] =⇒ i.u ∈ Occ(t).
Der Teilterm von t ∈ TΣ(X) an der Stelle u ∈ Occ(t), t/u, ist gegeben durch
t/ε := t
f(t1, . . .,tn)/i.u := ti/u , i ∈ [n]
Der durch das Einsetzen von t ∈ TΣ(X) an der Stelle u ∈ IN£+ in t ∈ TΣ(X) entstehende
Term t[u ← t ′ ] ist definiert durch
t[ε ← t ′ ] := t ′
f(t1, . . .,tn)[i.u ← t ′ ] := f(t1, . . .,ti[u ← t ′ ], . . .,tn) , i ∈ [n]
t[u ← t ′ ] := t , andernfalls, d. h. u /∈ Occ(t).
Wir definieren zwei Halbordnungen für Stellen: Die Präfixordnung 〈IN ∗ +, ≤〉 ist gegeben durch
u ≤ v :⇐⇒ ∃w ∈ IN ∗ +. u.w = v
5 Anstelle der üblichen einen Substitution verwenden wir zwei: σ und σ ′ . t und t ′ können gemeinsame Variablen
besitzen (Var(t) ∩ Var(t ′ ) = ∅), aber in unseren Anwendungen der Unifikation sind die Variablen in beiden Termen
voneinander bedeutungsunabhängig.