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6.2. DEKLARATIVE EIGENSCHAFTEN DER ς-SEMANTIKEN 143
=⇒ Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P, alle t ∈ (TC,ς) n und alle β : Var(p)→TC,ς \{⊥}, so daß t mit f(p)
vermittels β semantisch ς-gematcht wird, gilt
f(t) = [[r]] alg
,β .
⇐⇒ (Lemma 6.8 über die Charakterisierung des semantischen ς-Matchens)
Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P, allet ∈ (TC,ς) n und alle β : Var(p)→TC,ς \{⊥}, so daß für alle i ∈ [n]
[[pi]] alg
⊥cbn = t i, gilt
f(t) = [[r]] alg
,β .
⇐⇒ Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P und alle β : Var(p)→TC,ς \ {⊥} gilt
⇐⇒ (Weil [[pi]] alg
⊥ς
= [[pi]] alg
,β wegen
belegungen ohne ⊥ [[pi]] alg
⊥ς
f([[p1]] alg alg
, . . .,[[pn]] ) = [[r]]alg
⊥ς ⊥ς ,β .
pi ∈ TC(X), und weil nach Lemma 5.5, S. 80, über Variablen-
= ⊥)
Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P und alle β : Var(p)→TC,ς \ {⊥} gilt
[[f(p)]] alg
= [[r]] ,β alg
,β .
⇐⇒ist ein ς-Interpretationsmodell ∗ des Programms P.
Die Umkehrung, IntMod ∗ P,ς ⊆ ς-Fixpunkte, gilt ebenso wie bei den ” normalen“ ς-
Interpretationsmodellen nicht (siehe Beispiel 6.4).
Wenn wir jetzt untersuchen, ob analog zum cbn-Datentyp jeder ς-Datentyp DP,ς das kleinste ς-
Interpretationsmodell ∗ IntMod ∗ P,ς ist, so stellen wir fest, daß dies nicht der Fall ist.
Beispiel 6.5 DÈ
=
MinAlg ΣÚ(IntMod£È)
f(x) → A
f sei nicht erzwungen strikt an seiner einzigen Argumentstelle, d. h. ς(f) = (ff).
Dann ist f DP,ς(⊥) = f DP,ς(A) = A. Jedoch ist auch∈IntΣ,ς mit f(⊥) = ⊥ und f(A) = A ein
ς-Interpretationsmodell ∗ des Programms, und es ist DP,ς. ✷
Die Ursache des Fehlens dieser Eigenschaft sind die Operationen des ς-Datentyps, welche nicht-strikt
sind. Daher tritt dieses Problem auch in der cbv-Semantik bei Programmen mit Hilfsfunktionen
auf:
Beispiel 6.6 DÈcbv = MinAlg ΣÚ(IntMod£Ècbv )
Sei P ein Programm mit Hilfsfunktionen mit A ∈ C0. Dann ist nach Lemma 5.1, S. 78, über die
Hilfssymboloperationen
cond DP,cbv
A (A,A, ⊥) = A.
Wir definieren nun∈IntΣ,cbv durch
condA (A,A, ⊥) := ⊥
f(t) := f DP,cbv(t) für alle sonstigen t ∈ (T ⊥ C )n , f (n) ∈ F( ˙∪ H)
Da DP,cbv ein cbv-Interpretationsmodell ∗ ist, ist auchein solches. DP,cbv ist nicht das kleinste
cbv-Interpretationsmodell ∗ , weil DP,cbv. ✷
✷