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2.3. ALGEBREN 15
In [ADJ77] werden zum ersten Mal Algebren und Halbordnungen zu geordneten, ω-vollständigen
Algebren zusammengefügt. Diese sind inzwischen als Basis vieler denotationeller Semantiken allgemein
akzeptiert ([Cou90]). Eine ausführliche Darstellung, insbesondere der algebraischen Grundlagen,
mit vielen Beispielen findet sich in [We92].
2.3.1 Algebren
Eine Signatur ist eine Menge Σ, deren Elemente Operationssymbole genannt werden, zusammen
mit einer Abbildung ̺ : Σ→IN, der Stelligkeitsfunktion, die jedem Operationssymbol f ∈ Σ
seine Stelligkeit ̺(f) zuordnet. Im folgenden werden wir die Stelligkeitsfunktion ̺ nicht mehr
explizit erwähnen. Stattdessen schreiben wir f (n) für ein Operationssymbol f der Stelligkeit n und
Σn := {f (n) ∈ Σ} für die Menge aller n-stelligen Operationssymbole. Es ist Σ =
n∈IN Σn. Die
0-stelligen Operationssymbole werden auch Konstanten genannt.
Ist A eine Menge und n ∈ IN, so heißt eine totale Abbildung f : A n →A n-stellige Operation auf
A. Wir verwenden die Bezeichnungen:
Opsn(A) := {f | f : A n →A}
Ops(A) :=
Opsn(A) n∈IN
Eine (Σ-)Algebra=〈A, α〉 besteht aus einer nicht-leeren Menge A, dem Träger oder Universum,
und einer Zuweisung α : Σ→Ops(A), die jedem n-stelligen Operationssymbol f ∈ Σn eine
n-stellige Operation α(f) ∈ Ops n(A) zuweist. Statt α(f) schreiben wir auch oft f. Alg Σ bezeichnet
die Klasse aller Σ-Algebren.
Wenn nicht anders angegeben, bezeichnen wir im folgenden den Träger einer Algebraimmer mit
A, den vonmit B, den von′ mit A ′ usw. Allerdings werden die Großbuchstaben A, B, . . . auch
noch für diverse andere Zwecke verwendet. Die jeweilige Bedeutung ist dann aus dem Zusammenhang
ersichtlich.
Sei A eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation über A. Die Menge aller Elemente, die modulo ∼
äquivalent zu einem a ∈ A ist,
[a]∼ := {a ′ ∈ A | a ′ ∼ a},
heißt Äquivalenzklasse 2 modulo ∼ des Repräsentanten a. Die Menge aller Äquivalenzklassen
von A modulo ∼,
A/ ∼:= {[a]∼ | a ∈ A},
heißt Quotientenmenge von A modulo ∼.
Seieine Σ-Algebra und ∼ eine Kongruenz über. Die Σ-Algebra
mit
/ ∼:= 〈A/ ∼, α/ ∼〉,
f/∼ ([a1]∼, . . .,[an]∼) := [f(a1, . . .,an)]∼
für alle a1, . . .,an ∈ A, f (n) ∈ Σ heißt Quotientenalgebra (Faktoralgebra) vonmodulo ∼.
2 Der Begriff ” Klasse“ ist hier aus traditionelle Gründen leider unvermeidbar. Natürlich sind Äquivalenzklassen
Mengen.