08.10.2013 Aufrufe

Download (1405Kb)

Download (1405Kb)

Download (1405Kb)

MEHR ANZEIGEN
WENIGER ANZEIGEN

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.

2.3. ALGEBREN 15<br />

In [ADJ77] werden zum ersten Mal Algebren und Halbordnungen zu geordneten, ω-vollständigen<br />

Algebren zusammengefügt. Diese sind inzwischen als Basis vieler denotationeller Semantiken allgemein<br />

akzeptiert ([Cou90]). Eine ausführliche Darstellung, insbesondere der algebraischen Grundlagen,<br />

mit vielen Beispielen findet sich in [We92].<br />

2.3.1 Algebren<br />

Eine Signatur ist eine Menge Σ, deren Elemente Operationssymbole genannt werden, zusammen<br />

mit einer Abbildung ̺ : Σ→IN, der Stelligkeitsfunktion, die jedem Operationssymbol f ∈ Σ<br />

seine Stelligkeit ̺(f) zuordnet. Im folgenden werden wir die Stelligkeitsfunktion ̺ nicht mehr<br />

explizit erwähnen. Stattdessen schreiben wir f (n) für ein Operationssymbol f der Stelligkeit n und<br />

Σn := {f (n) ∈ Σ} für die Menge aller n-stelligen Operationssymbole. Es ist Σ = <br />

n∈IN Σn. Die<br />

0-stelligen Operationssymbole werden auch Konstanten genannt.<br />

Ist A eine Menge und n ∈ IN, so heißt eine totale Abbildung f : A n →A n-stellige Operation auf<br />

A. Wir verwenden die Bezeichnungen:<br />

Opsn(A) := {f | f : A n →A}<br />

Ops(A) := <br />

Opsn(A) n∈IN<br />

Eine (Σ-)Algebra=〈A, α〉 besteht aus einer nicht-leeren Menge A, dem Träger oder Universum,<br />

und einer Zuweisung α : Σ→Ops(A), die jedem n-stelligen Operationssymbol f ∈ Σn eine<br />

n-stellige Operation α(f) ∈ Ops n(A) zuweist. Statt α(f) schreiben wir auch oft f. Alg Σ bezeichnet<br />

die Klasse aller Σ-Algebren.<br />

Wenn nicht anders angegeben, bezeichnen wir im folgenden den Träger einer Algebraimmer mit<br />

A, den vonmit B, den von′ mit A ′ usw. Allerdings werden die Großbuchstaben A, B, . . . auch<br />

noch für diverse andere Zwecke verwendet. Die jeweilige Bedeutung ist dann aus dem Zusammenhang<br />

ersichtlich.<br />

Sei A eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation über A. Die Menge aller Elemente, die modulo ∼<br />

äquivalent zu einem a ∈ A ist,<br />

[a]∼ := {a ′ ∈ A | a ′ ∼ a},<br />

heißt Äquivalenzklasse 2 modulo ∼ des Repräsentanten a. Die Menge aller Äquivalenzklassen<br />

von A modulo ∼,<br />

A/ ∼:= {[a]∼ | a ∈ A},<br />

heißt Quotientenmenge von A modulo ∼.<br />

Seieine Σ-Algebra und ∼ eine Kongruenz über. Die Σ-Algebra<br />

mit<br />

/ ∼:= 〈A/ ∼, α/ ∼〉,<br />

f/∼ ([a1]∼, . . .,[an]∼) := [f(a1, . . .,an)]∼<br />

für alle a1, . . .,an ∈ A, f (n) ∈ Σ heißt Quotientenalgebra (Faktoralgebra) vonmodulo ∼.<br />

2 Der Begriff ” Klasse“ ist hier aus traditionelle Gründen leider unvermeidbar. Natürlich sind Äquivalenzklassen<br />

Mengen.

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!