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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 57
nen der auf den linken Reduktionsregelseiten befindlichen Funktions- und Hilfssymbole werden
durch ihre jeweiligen rechten Regelseiten spezifiziert. Zwar ergibt sich daraus noch keine direkte
Definition der Operationen, da die Funktions- und Hilfssymbole im allgemeinen auch auf den
rechten Regelseiten auftauchen, aber das gesamte Programm ist als eine Abbildung auffaßbar: Ist
eine cbv-Interpretation zur Interpretation der Symbole der rechten Regelseiten gegeben, so werden
durch das Programm die Operationen der Symbole der linken Regelseiten und somit eine neue
cbv-Interpretation bestimmt.
Definition 4.4 cbv-Transformation
Die cbv-Transformation des Programms P über Σ,
ist definiert durch
⎧
f ΦP,cbv()
⎪⎨
(t) :=
⎪⎩
ΦP,cbv : [IntΣ,cbv→IntΣ,cbv],
[[r]] alg
,β , falls eine Programmregel f(p)→r ∈ P
und eine Variablenbelegung β : Var(p)→TC
für alle f (n) ∈ F, t ∈ (T ⊥ C )n und∈IntΣ,cbv,
und außerdem, wenn Σ = (C, H, F),
cond ΦP,cbv()
G (t1, t2, t3) :=
sel ΦP,cbv()
G,i (t) :=
mit [[p1]] alg
⊥cbv,β = t 1 (= ⊥), . . .,[[pn]] alg
⊥cbv,β = t n (= ⊥) existiert
⊥ , andernfalls
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⊥ , falls t 1 = ⊥
t 2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = t 1 (= ⊥) existiert
t 3 , andernfalls
β(xi) , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = t (= ⊥) existiert
⊥ , andernfalls
für alle condG, selG,i ∈ H, t, t 1, t 2, t 3 ∈ T ⊥ C und∈IntΣ,cbv. ✷
Die zu einem konkreten Operationsargument gehörende rechte Regelseite wird durch ein semantisches
Patternmatching ausgewählt. Hierbei ist zu beachten, daß die Definition von der Wahl
der in der algebraischen Termsemantik beim Patternmatching ([[pi]] alg
⊥cbv,β = t i) verwendeten cbv-
Interpretation (⊥cbv) unabhängig ist. Da pi ∈ TC ist, und die Konstruktoroperationen in allen
cbv-Interpretationen gleich sind, kann dort eine beliebige cbv-Interpretation verwendet werden. Es
wird hier ⊥cbv gewählt, da die Verwendung der einzigen anderen ausgezeichneten cbv-Interpretation
den falschen Eindruck einer (nicht vorhandenen) Abhängigkeit schaffen würde.
Wie angekündigt, werden alle Operationen als strikt definiert; nur die Verzweigungsoperationen
können an der 2. und 3. Argumentstelle nicht-strikt sein. Deshalb wird die Definition der Hilfsoperationen
getrennt aufgeführt. Die Selektionsoperationen werden allerdings genauso wie die Funktionsoperationen
behandelt.
Die Eindeutigkeit der Definition, die ω-Stetigkeit der Funktions- und Hilfsoperationen und die
ω-Stetigkeit der cbv-Transformation überhaupt werden wie erwähnt erst in Kapitel 5 bewiesen.