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5.1. VERALLGEMEINERUNG DER ZWEI STANDARDSEMANTIKEN 75
strikt für t, wenn
∃i ∈ [n]. ς(g)(i) = tt ∧ ti = ⊥
gilt. ✷
Im weiteren bezeichne ς stets eine beliebige aber feste erzwungene Striktheit.
Aus der durch ς festgelegten Striktheit der Konstruktoroperationen ergeben sich direkt die Datenelemente,
d. h. der Rechenbereich der ς-Semantik.
Definition 5.2 Rechenbereich
Sei 〈T∞ C,⊥ , ✂〉 die ω-vollständige Halbordnung der unendlichen, partiellen Konstruktorterme. Der
Rechenbereich zu C und ς, TC,ς, ist die kleinste Teilmenge von T∞ C,⊥ , die die folgenden zwei
Eigenschaften besitzt:
1. G (n) ∈ C, t 1, . . .,t n ∈ TC,ς, G nicht erzwungen strikt für t =⇒ G(t 1, . . .,t n) ∈ TC,ς.
2. T ⊆ TC,ς abzählbare Kette =⇒ T ∈ TC,ς.
Mit der Relation ✂ der ω-vollständigen Halbordnung der unendlichen, partiellen Konstruktorterme
ist 〈TC,ς, ✂〉 die ω-vollständige Halbordnung des Rechenbereichs. ✷
Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist die ω-Vollständigkeit von 〈TC,ς, ✂〉 trivialerweise gegeben.
Insbesondere folgt mit T = ∅ aus der zweiten Eigenschaft, daß ⊥ ∈ TC,ς ist. Die endlichen Terme
TC,ς ∩ TC,⊥ sind genau die ω-kompakten Terme und 〈TC,ς, ✂〉 ist ω-induktiv. Aus der ersten
Eigenschaft folgt TC ⊆ TC,ς. Es gilt somit für beliebige Striktheitsfunktionen ς:
T ⊥ C ⊆ TC,ς ⊆ T ∞ C,⊥.
Prinzipiell wäre die alleinige Verwendung aller unendlichen, partiellen Konstruktorterme T ∞ C,⊥ als
Rechenbereich für alle ς-Semantiken denkbar, doch dann wären in den meisten ς-Semantiken viele
Rechenterme überhaupt nicht denotierbar.
Außerdem sollen die schon definierten cbv- und cbn-Semantiken Spezialfälle der ς-Semantiken sein.
Wir können dies schlicht dadurch zum Ausdruck bringen, daß wir die Bezeichnungen cbv“ und
”
” cbn“ als spezielle erzwungene Striktheiten auffassen.
Definition 5.3 Erzwungene Striktheiten cbv und cbn
Die erzwungenen Striktheiten
cbv, cbn :
Σn→IB n
sind definiert durch
für alle g (n) ∈ C ˙∪ F, i ∈ [n],
für alle condG, selG,i ∈ H,
n∈IN
cbv(g)(i) := tt
cbv(condG) := (tt, ff, ff)
cbv(selG,i) := (tt)
cbn(g)(i) := ff
für alle g (n) ∈ Σ, i ∈ [n]. ✷