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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 123
Korollar 5.42 Zerlegung einer Reduktion
U
Sei RedR,I residual abgeschlossen. Wenn t −−→ t ′ eine I-Reduktion ist, so ist auch
I
t U1 −−→ t
o,I
′′ U2
no,I
−−→ t ′
mit U1 := U ∩ OuterR,I(t) und U2 := U \ OuterR,I(t) eine I-Reduktionsfolge.
Beweis:
Die Möglichkeit der Zerlegung einer Reduktion folgt direkt aus der Definition der parallen Reduktion
unabhängiger Redexe. Mit Lemma 5.41 über den Erhalt unabängiger non-outermost Redexstellen
folgt auch U2 ⊆ NOuterR,I(t ′′ ). ✷
Lemma 5.43 Non-outermost Reduktion erzeugt keine outermost Redexstellen
Sei RedR,I residual abgeschlossen und outer. Dann gilt:
Beweis:
u
Sei t −−→
no,I
t −−→
no,I
t ′ eine I-Reduktion und v ∈ OuterR,I(t ′ ).
t ′ =⇒ OuterR,I(t ′ ) ⊆ OuterR,I(t).
1. Z.z.: Es existiert kein w < v mit w ∈ RedOccR,I(t).
Angenommen, ein solches w existiert. Dann existiert insbesondere ein w < v mit w ∈
u
OuterR,I(t). Da u ∈ NOuterR,I(t), ist w \ t −−→ t ′ = {w} ⊆ RedOccR,I(t ′ ). Dies steht
no,I
im Widerspruch zu der Annahme v ∈ OuterR,I(t ′ ).
2. Z.z.: v ∈ RedOccR,I(t).
Nach 1. kann nicht u < v sein, und es bleiben die folgenden 2 Fälle.
u v: Dann ist t/v = t ′ /v und somit v ∈ RedOccR,I(t).
v ≤ u: Da u ∈ NOuterR,I(t), existiert w ∈ RedOccR,I(t) mit w < u und wegen 1. gilt v ≤
w < u.
v = w: Also ist v ∈ RedOccR,I(t).
v < w: Aus der Outer-Eigenschaft von RedR,I folgt direkt v ∈ RedOcc(t).
3. Z.z.: v ∈ OuterR,I(t).
Wegen t
Dies folgt direkt aus 1. und 2.
U
−−→ t
no,I
′ gdw. t
u1 −−→ t2
no,I
u2 −−→ . . .
no,I
un −−→ t
no,I
′ mit U = {u1, . . . , un} (Erhalt von unabhängigen
non-outermost Redexstellen, Lemma 5.41) folgt schließlich induktiv OuterR,I(t ′ ) ⊆ OuterR,I(t). ✷
Die umgekehrte Inklusion (OuterR,I(t) ⊆ OuterR,I(t ′ )) gilt auch, siehe Lemma 14 in [O’Do77], wird
aber im folgenden nicht benötig.
Die eventually outermost Hilfskonstruktion und die darauf folgenden vier Lemmata gehen auf Lemma
17 in [O’Do77] zurück.