Download (1405Kb)

54 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Beispiel 4.4 Invarianz der li-Reduktionssemantik
liste1 → []:liste1
liste2 → [[]]:liste2
head(x:xs) → x
liste1 und liste2 besitzen keine li-Normalform und somit ist
Wegen
head(liste1) −−→
P,li
head(liste2) −−→
P,li
ist aber auch
[[liste1]] li
P = ⊥ = [[liste2]] li
P
head([]:liste1) −−→
P,li
head([[]]:liste2) −−→
P,li
[[head(liste1)]] li P = ⊥ = [[head(liste2)]] li P.
head([]:[]:liste1) −−→
P,li
head([[]]:[[]]:liste2) −−→
P,li
Hier ist das Problem also verschwunden, und in der Tat ist die li-Reduktionssemantik invariant.
Lemma 4.1 Invarianz der li-Reduktionssemantik
Die li-Reduktionssemantik [[·]] li P ist invariant. Sie ist also eine Grundtermsemantik.
Beweis:
Wir zeigen die Invarianz anhand ihrer in Lemma 3.3, S. 46, angegebenen Charakerisierung.
Sei f (n) ∈ Σ und t1, . . .,tn, t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ mit [[t1]] li P = [[t′ 1 ]]li P , . . .,[[tn]] li P = [[t′ n]] li P .
Fall 1: f = condG oder [[t1]] li P = [[t′ 1 ]]li P
= ⊥.
Fall 1.1: Es existiert i ∈ [n] mit [[t1]] li P = ⊥, . . . , [[ti−1]] li P = ⊥, [[ti]] li P = ⊥.
Somit besitzen weder ti noch t ′ i eine li-Konstruktornormalform (d. h. eine li-Normalform
in TC).
f(t1, . . .,ti, . . .,tn)
f(t ′ 1, . . .,t ′ i, . . .,t ′ n)
∗
−−→
P,li
∗
−−→
P,li
f(t1 ↓ P,li, . . .,ti−1 ↓ P,li , ti, . . .,tn)
f(t ′ 1 ↓ P,li , . . .,t ′ i−1 ↓ P,li , t ′ i, . . .,t ′ n)
Auch f(t1 ↓ P,li, . . .,ti−1 ↓ P,li , ti, . . .,tn) und f(t ′ 1 ↓ P,li , . . .,t′ i−1 ↓ P,li , t′ i , . . .,t′ n) besit-
zen keine li-Konstruktornormalform. Damit ist [[f(t1, . . . , ti, . . . , tn)]] li P
[[f(t ′ 1 , . . . , t′ i , . . . , t′ n)]] li P .
Fall 1.2: [[t1]] li P = ⊥, . . . , [[tn]] li P
Also ist
= ⊥.
f(t1, . . . , tn)
f(t ′ 1, . . . , t ′ n)
∗
−−→
P,li
∗
−−→
P,li
f(t1 ↓ P,li, . . .,tn ↓ P,li)
f(t ′ 1 ↓ P,li , . . .,t ′ n ↓ P,li )
...
...
✷
= ⊥ =
[[f(t1, . . . , tn)]] li P = [[f(t1 ↓ P,li, . . .,tn ↓ P,li)]] li P = [[f(t ′ 1 ↓ P,li , . . . , t ′ n ↓ P,li )]] li P = [[f(t ′ 1, . . .,t ′ n)]] li P.