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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 61
Definition 4.6 li-Datentyp
Sei 〈T⊥ C , α〉 der Datentyp der li-Reduktionssemantik, dessen Operationen abgesehen von den Verzweigungsoperationen
alle strikt sind, und für den
⎧
⎪⎨
α(condG)(t1, t2, t3) :=
⎪⎩
für alle condG ∈ H und t1, t2, t3 ∈ T⊥ C gilt.
〈T⊥ C
⊥ , falls t1 = ⊥
t2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = t t3 ,
1 (= ⊥) existiert
andernfalls
, ✂〉 sei die flache Halbordnung des Rechenbereichs.
Dann heißt Dli P := 〈T⊥C , ✂, α〉 li-Datentyp ✷
Die Ergänzung um die flache Halbordnung wurde einzig und allein zur Vergleichbarkeit mit dem cbv-
Fixpunktdatentyp Dfix P,cbv vorgenommen. Der li-Datentyp ist damit eine geordnete Algebra. Es ist
noch zu zeigen, daß Dli P wohldefiniert ist, d. h. daß die geforderte Striktheit auch gegeben ist, wenn
ein t⊥ ∈ TΣ mit [[t⊥]] li P = ⊥ existiert. Außerdem haben wir für den li-Datentyp zur Vereinfachung des
Übereinstimmungsbeweises die Verzweigungsoperationen vollständig neu angegeben. Wir müssen
zeigen, daß diese mit der li-Reduktionssemantik übereinstimmen. Andernfalls gäbe es gar keinen
li-Datentyp.
Lemma 4.4 Wohldefiniertheit des li-Datentyps
Der li-Datentyp, Dli P , ist wohldefiniert, d.h. es gilt
[[g(t)]] li P = ⊥
für alle g (n) ∈ Σ \ {condG ∈ H} und t ∈ (TΣ) n mit ⊥ ∈ {[[t1]] li P , . . . , [[tn]] li P }
und
[[condG(t1, t2, t3)]] li ⎧
⊥ , falls t1 = ⊥
⎪⎨ t2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC
P =
mit [[G(x1, . . .,xn)]]
⎪⎩
alg
⊥cbv,β = t1 (= ⊥) existiert
t3 , andernfalls
für alle condG ∈ H und t1, t2, t3 ∈ TΣ, t 1, t 2, t 3 ∈ T ⊥ C mit [[t1]] li P = t 1, [[t2]] li P = t 2, [[t3]] li P = t 3.
Beweis:
Teil 1: Ist für ein i ∈ [n] [[ti]] li P = ⊥, so besitzt ti keine li-Konstruktornormalform. Dann besitzt
auch g(t1, . . .,tn) keine li-Konstruktornormalform und es gilt [[g(t)]] li P = ⊥.
Teil 2: Fall 1: t1 = ⊥.
Somit besitzt t1 keine li-Konstruktornormalform. Also besitzt auch condG(t1, t2, t3) keine
li-Konstruktornormalform und es gilt [[condG(t1, t2, t3)]] li P = ⊥.
Fall 2: Es existiert eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β =
t1 (= ⊥).
Es ist
t1 ↓P,li = t1 = [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥cbv,β = G(. . .),