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150 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Beweis:
Mit einer strukturellen Induktion über t ∈ TΣ folgen unter Verwendung der Definitionen 3.10, S. 47,
der algebraischen Semantik und 6.10 der algebraischen Semantik bezüglich partieller Algebren beide
Aussagen direkt. ✷
Lemma 6.14 Erhalt der Modelleigenschaft unter Π und Π 1
Es gelten ∈IntMod ∗ P,cbv ⇐⇒ Π() ∈ IntMod part
P,cbv
und ∈IntMod part
P,cbv ⇐⇒ Π−1 () ∈ IntMod ∗ P,cbv.
Beweis:
Sei l→r eine beliebige Reduktionsregel (= Programmregel) des Programms P.
l→r ist in∈IntMod ∗ P,cbv gültig.
⇐⇒ (Definition 6.6, S. 142, des cbv-Interpretationsmodells ∗ )
∈IntΣ,cbv, ∀β
⇐⇒∈IntΣ,cbv, ∀β : X→T ⊥ C
: X→T⊥ C \ {⊥}. [[l]] alg
= [[r]] ,β alg
,β
\ {⊥}. entweder [[l]]alg = [[r]] ,β alg
= ⊥ oder [[l]] ,β alg
= [[r]] ,β alg
= ⊥ ,β
⇐⇒ (Lemma 6.13 der Übereinstimmung der algebraischen Termsemantiken)
Π() ∈ Int part
Σ,cbv , ∀β : X→T⊥ C
\ {⊥}. entweder [[l]]alg Π(),β und [[r]]alg Π(),β undefiniert
oder [[l]] alg
Π(),β
⇐⇒ (Definition 6.11 der Gültigkeit in partiellen Algebren)
l→r ist in Π() ∈ IntMod part
P,cbv gültig.
= [[r]]alg
Π(),β
Die zweite Aussage folgt analog bzw. aus der Surjektivität von Π. ✷
Mit diesen drei Eigenschaften können wir nun die folgende fundamentale Beziehung zwischen der
totalen und der partiellen cbv-Semantik beweisen:
Lemma 6.15 Übereinstimmung der cbv-Datentypen
Es ist
und
D part
P,cbv = Π(DP,cbv)
DP,cbv = Π −1 (D part
P,cbv ).
Beweis:
Nach Lemma 6.14 über den Erhalt der Modelleigenschaft unter Π und Π−1 ist Π(DP,cbv) ∈
IntMod part
P,cbv .
Sei∈IntMod part
P,cbv beliebig. Nach Lemma 6.14 ist Π−1 () ∈ IntMod ∗ P,cbv. Da nach Lemma 6.11,
S. 144, DP,cbv das kleinste cbv-Interpretationsmodell∗ ist, gilt
DP,cbv ⊑ Π −1 ().