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26 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
[Ros73] und [O’Do77] betrachten nun eine spezielle Teilmenge dieser unendlichen Grundtermersetzungssysteme,
die sie Subtree-Replacement-Systeme nennen. Die Instanz eines jeden beinahe
orthogonalen Termersetzungssystems ist ein solches Subtree-Replacement-System. Daher sind die
Begriffe einfach übertragbar, und wir verweisen bei vielen Eigenschaften beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme
auf die entsprechenden Beweise in [O’Do77].
Da in der Informatik nur endlich beschreibbare Strukturen von Interesse sind, ist die Beschränkung
auf beinahe orthogonale Termersetzungssysteme (anstelle beliebiger unendlicher Grundtermersetzungssysteme)
sinnvoll; auch in Kapitel VII in [O’Do77] werden kurz endliche Schemata betrachtet,
welche Subtree-Replacement-Systeme beschreiben, unter anderem orthogonale Termersetzungssysteme.
Im folgenden seien die Termersetzungssysteme immer beinahe orthogonal.
Es erweist sich im weiteren als nützlich, nicht nur die Menge aller Grundinstanzen der Regeln
eines Termersetzungssystems zu betrachten, sondern auch Instanzen eines Termersetzungssystems
zu verwenden, die nur bestimmte Grundinstanzen der Regeln des Termersetzungssystems enthalten.
Auf jede Regel werden also nur bestimmte Grundsubstitutionen angewendet. Da eine rechte
Regelseite nur Variablen enthält, die auf der linken Regelseite vorkommen, ist eine solche Instanz I
eines Termersetzungssystems durch die Angabe der Redexmenge RedR,I ⊆ RedR (Menge aller linken
Regelseiten des unendlichen Grundtermersetzungssystems) eindeutig festgelegt (vgl. mit dem
Instanziierungsprädikat Q der rule schemata in [O’Do77]). Für RedR,I = RedR erhält man die
vorher betrachtete kanonische Instanz eines Termersetzungssystems, welches wir zur Wahrung der
üblichen Begriffe nicht von dem Termersetzungssystem unterscheiden wollen. Für t ∈ TΣ definieren
wir:
RedOccR,I(t) := {u ∈ RedOccR(t) | t/u ∈ RedR,I}
u
Eine Reduktion A = t −−→ t
R ′ heißt genau dann Reduktion in der Instanz I bzw. I-Reduktion,
wenn u ∈ RedOccR,I(t). Die I-Reduktion ist also ein Spezialfall unserer ̺-Reduktion, wird da-
u
her auch als A = t −−→ t ′ geschrieben, und auch die übrigen zugehörigen Begriffe ergeben sich
R,I
entsprechend.
Alle solche Instanzen eines beinahe orthogonalen Termersetzungssystemes sind Subtree-Replacement-Systeme.
Die in [Ros73] eingeführte Residuenabbildung wird schon in [Huet&Lévy79] auf orthogonale
Termersetzungssysteme übertragen. Viele interessante Eigenschaften von Reduktionsfolgen beruhen
darauf, wie Redexe in den elementaren Reduktionen entstehen, erhalten bleiben und zerstört
werden. Eine elementare Reduktion vermittels einer Termersetzungsregel stellt im Grunde eine
Umordnung von Teiltermen und damit insbesondere von Redexen dar. Die Residuenabbildung beschreibt
nun diesen Umordnungsprozeß, indem für eine Reduktion t −−→ t ′ jeder Redexstelle u des
Terms t die Menge der Redexstellen von t ′ zugeordnet werden, die Kopien von u sind, die Residuen
von u.
Lemma 2.3 Residuen
u
Sei t −−→ t
l→r ′ eine elementare Reduktion und v ∈ RedOcc(t). Dann ist die Menge der Residuen
von v bezüglich dieser Reduktion wie folgt definiert:
u
v \ (t −−→ t
l→r ′ ⎧
⎪⎨ ∅ , wenn v = u
) := {v} , wenn v u oder v < u
⎪⎩ {u.w ′ .v ′ | v = u.w.v ′ , r/w ′ = l/w ∈ X} , wenn v > u
✷