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154 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
In [Hup78] wird der Formalismus der rekursiven Abbildungen auf beliebige initiale Algebren übertragen.
Auch hier ist leicht erkennbar, daß in unseren Programmiersprachen alle in diesem Sinne
rekursiven Abbildungen über TC spezifizierbar sind.
In [Ber&Tu80] und 2.4 und 4.2 in [Wir90] werden sogenannte berechenbare Datentypen, d. h. Algebren,
deren Operationen alle berechenbar sind, definiert. Mit unseren Programmiersprachen sind
nicht alle in diesem Sinne berechenbaren konstruktorbasierten Datentypen spezifizierbar. Immerhin
existiert jedoch zu jedem berechenbaren Datentypein ς-Datentyp DP,ς, so daß DP,ς enthält,
d. h. nur mehr Operationen besitzt aber ansonstengleicht. So ist eine Quadrierungsabbildung
über den natürlichen Zahlen nicht ohne Verwendung einer anderen Abbildung, beispielsweise der
Addition, definierbar (siehe Theorem 4.2.4 in [Wir90]).
Interessant wäre noch ein absoluter Berechenbarkeitsbegriff, der auch die partiellen und unendlichen
Konstruktorterme umfassen und dabei möglicherweise auch die Halbordnung des Rechenbereichs
mit einbeziehen würde.
Die obigen Aussagen über die absolute Berechungsstärke gelten für Programme mit Pattern und
für Programme mit Hilfsfunktionen zusammen mit beliebigen ς-Semantiken.
Eine andere Untersuchungsmöglichkeit ist ein direkter Vergleich zwischen den ς-Semantiken, d. h.
den verschiedenen erzwungenen Striktheiten ς. Hierbei ist insbesondere von Interesse, ob es ein
effektives Verfahren zur Übersetzung eines Programms P in ein Programm P ′ gibt, so daß der
ς ′ -Datentyp von P ′ mit dem ς-Datentyp von P übereinstimmt. Aufgrund der unterschiedlichen
Rechenbereiche werden die Operationen dabei nur über TC verglichen, und außerdem wird bei der
Konstruktion von P ′ die Erweiterung der Signatur um zusätzliche Operationssymbole zugelassen.
In [Noll95] werden in einem unseren Programmiersprachen ähnlichem Rahmen derartige Übersetzungsverfahren
angegeben.
Mit einem anderen Vergleich beschäftigen wir uns eingehender. Da wir zwei unterschiedliche Arten
von Programmen definiert haben, vergleichen wir deren Ausdrucksstärke und prüfen die gegenseitige
semantikerhaltende Übersetzbarkeit der Programme.
7.2 Gegenseitige Übersetzbarkeit der Programme
Präzise formuliert prüfen wir, ob ein Programm mit Hilfsfunktionen (mit Pattern), P, über der
Programmsignatur Σ = (C, H, F) (Σ = (C, F)) in ein Programm mit Pattern (mit Hilfsfunktionen),
P ′ , über Σ ′ = (C, F ˙∪ F ′ ) (Σ ′ = (C, H, F ˙∪ F ′ )) effektiv übersetzbar ist, so daß mit ς ′ (g) = ς(g) für
alle g ∈ Σ ∩ Σ ′ für alle f ∈ F f DP,ς = f D P ′ ,ς ′ gilt. Wir lassen also die Erweiterung um zusätzliche
Funktionssymbole zu. Da die erzwungene Striktheit (für die gemeinsamen Operationssymbole) fest
ist, können wir die Operationen über dem gesamten Rechenbereich TC,ς vergleichen.
Die semantikerhaltende Übersetzung von Programmen mit Hilfsfunktionen in Programme mit Pattern
ist trivial, da die assoziierten Termersetzungssysteme von Programmen mit Hilfsfunktionen
praktisch Programme mit Pattern sind. Ist P ein Programm mit Hilfsfunktionen über Σ = (C, H, F),
so erfüllt P ′ := ˆ P über Σ = (C, F ˙∪ H) obige Bedingung.
Eine weitere natürliche Forderung ist hierbei jedoch noch nicht erfüllt. Ist die erzwungene Striktheit
ς = cbn, so soll auch ς ′ = cbn sein, und wenn ς = cbv, dann soll ς ′ = cbv sein. Letztere Bedingung
ist problematisch, da die Verzweigungssymbole an den jeweils letzten zwei Argumentstellen auch in
der cbv-Semantik nicht-strikt sind, während die Funktionssymbole dann alle erzwungen strikt sein
müssen.