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88 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Lemma 5.14 Semantische Unifikation impliziert syntaktische Unifikation
Seien p, p ′ ∈ TC(X) zwei lineare Pattern, die zueinander variablendisjunkt sind, d.h. es gilt Var(p)∩
Var(p ′ ) = ∅.
Sei t ∈ TC,ς und seien β : Var(p)→TC,ς und β ′ : Var(p ′ )→TC,ς zwei Variablenbelegungen. Es gelte
Dann existieren zwei Substitutionen
und eine Variablenbelegung
so daß gilt:
p[⊥/Var(p)] ✂ t p ′ [⊥/Var(p ′ )] ✂ t (1)
[[p]] alg
⊥ς,β = t = [[p′ ]] alg
⊥ς,β ′
σ : Var(p)→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))
σ ′
: Var(p ′ )→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))
ˆβ : (Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))→TC,ς,
pσ = p ′ σ ′
β(x) = [[xσ]] alg
⊥ς, ˆ β
β ′ (x) = [[xσ ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β
Beweis:
Parallele strukturelle Induktion über p und p ′ .
Fall 1: p ∈ X oder p ′ ∈ X, o.B. d. A. sei p = x ∈ X.
Man definiert
und es gilt
für alle x ∈ Var(p)
für alle x ∈ Var(p ′ )
σ := [p ′ /x]
σ ′ := []
ˆβ(x) := β ′ (x) für alle x ∈ Var(p) ˙∪ Var(p ′ )
pσ = x[p ′ /x] = p ′ = p ′ [] = p ′ σ ′
β(x) = [[p]] alg
⊥ς, ˆ β = [[p′ ]] alg
⊥ς, ˆ = [[xσ]]alg
β ′ ⊥ς, ˆ = [[xσ]]alg
β ′
⊥ς, ˆ für alle x ∈ Var(p)
β
Fall 2: p = G(p1, . . .,pn) und p ′ /∈ X.
Mit (1) folgt
und
Aus
folgt
β ′ (x) = β ′ (xσ ′ ) = [[xσ ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β ′ = [[xσ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β für alle x ∈ Var(p ′ )
(2)
t = G(t 1, . . .,t n) (3)
∀i ∈ [n]. pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
G([[p1]] alg
⊥ς, ˆ alg
, . . .,[[pn]]
β ⊥ς, ˆ) = [[p]]alg
β ⊥ς, ˆ (2) (3)
= t = G(t1, . . .,t
β
n) (5)
∀i ∈ [n]. [[pi]] alg
⊥ς, ˆ β = t i
(4)
(6)