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70 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Die semantischen Approximationen der Terme der po-Reduktionsfolge bilden eine ω-Kette:
liste1
[] : liste1
[] : [] : liste1
[] : [] : [] : liste1
. . .
P,po P,po P,po P,po
[·] alg
⊥ cbn
[·] alg
⊥ cbn
[·] alg
⊥ cbn
[·] alg
⊥ cbn
⊥ [] : ⊥ [] : [] : ⊥ [] : [] : [] : ⊥ . . .
Die aufgrund der ω-Vollständigkeit der kanonischen Halbordnung 〈T∞ C,⊥ , ✂〉 existierende kleinste
obere Schranke dieser ω-Kette ist dann die po-Reduktionssemantik.
Definition 4.13 po-Reduktionssemantik
Die po-Reduktionssemantik
[[·]] po
P : TΣ→T ∞ C,⊥
ist für einen Term t ∈ TΣ definiert durch
[[t]] po
P := {[[t ′ ]] alg
| t ⊥cbn
Für Beispiel 4.9 erhalten wir also wie gewünscht
∗
−−→
P,po t ′ }.
[[liste1]] po
P = {⊥, [] : ⊥, [] : [] : ⊥, [] : [] : [] : ⊥, . . .} = [[], [], [], . . .].
Hiermit haben wir die Definition der po-Reduktionssemantik motiviert. Einen Beweis ihrer Wohldefiniertheit,
d. h. daß die Approximationen wirklich eine ω-Kette bilden, führen wir jedoch erst in
Kapitel 5.
In Anbetracht der Tatsache, daß die po-Reduktionssemantik eines Terms immer die kleinste obere
Schranke einer ω-Kette von Approximationen ist, stellt sich nun die Frage, ob eventuell auch bei
endlichen, totalen Konstruktortermen als semantischer Wert dieser nur beliebig genau approximiert
aber nie erreicht wird. Dies ist jedoch nicht der Fall.
Lemma 4.7 Berechenbarkeit der po-Reduktionssemantik
Sei t ∈ TΣ. Wenn
= t ∈ TC,
[[t]] po
P
dann existiert die po-Normalform t↓ P,po, und es gilt
[[t]] po
P = t = t↓ P,po.
Beweis:
Spezialfall des Lemmas 5.21, S. 102, über die Berechenbarkeit der ς-Reduktionsemantiken. ✷
Es ist bekannt, daß die po-Reduktionsstrategie normalisierend ist ([O’Do77], Kapitel V, 5. – 7.).
Die Invarianz, die die po-Reduktionssemantik im Gegensatz zur Normalformsemantik besitzt, wird
durch eine stärkere Differenzierung der Terme ohne Normalform vermittels der echt partiellen und
echt unendlichen Konstruktorterme erreicht. Leider können wir die Invarianz nicht auf ähnlich
einfache Weise wie bei der li-Reduktionssemantik zeigen (Lemma 4.1, S. 54). Ein direkter Beweis
der Invarianz der po-Reduktionsemantik erweist sich als praktisch unmöglich. Stattdessen werden
wir in Kapitel 5 erst die Übereinstimmung der Fixpunktsemantik und der po-Reduktionssemantik
✷