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132 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Beispiel 5.10
and(a,b)
and(x,False) → . . .
a → . . .
b → . . .
2
−−→
o,cbn and(a, . . .) −−→
o,cbn . . .
In dem Term and(a,b) kann auf eine Reduktion an der outermost cbn-Redexstelle 1 wie schon
vorhin verzichtet werden. Nur an der anderen outermost cbn-Redexstelle 2 muß reduziert werden.
Wird dort nach eventuell wiederholter Reduktion schließlich False erreicht, so wird durch die
Reduktion an der Stelle ε auch die ursprüngliche outermost cbn-Redexstelle 1 eliminiert.
Ist jedoch False dort nicht erreichbar, so ist schon [[and(a,b)]] P,cbn = [[and(a,b)]] alg
= ⊥, und die
⊥ς
Reduktionsfolge approximiert somit die Semantik ebenfalls. Diese (unendliche) cbn-Reduktionsfolge
ist jedoch nicht eventually outermost, da 1 nie eliminiert wird. ✷
Es stellt sich nun die Frage, wie wir die Vollständigkeit derartiger ς-Redukionsstrategien beweisen
können.
Wie schon erwähnt, wird auch im Anhang von [Ber&Klop86] ein Beweis für den Erhalt der eventually
outermost Eigenschaft bei Residuenbildung geführt. Der dortige Beweis ist auch in sofern
allgemeiner, als dort nicht eine feste Aufteilung der Redexstellen eines Terms in outermost
und non-outermost Redexstellen vorausgesetzt wird. Stattdessen darf eine beliebige Aufteilung
von RedOccP,ς(t) in zwei Mengen GainP,ς(t) (gaining ς-Redexstellen) und NGainP,ς(t) (nongaining
ς-Redexstellen) mit RedOccP,ς(t) = GainP,ς(t) ˙∪ NGainP,ς(t) vorliegen. Wenn dann für
diese Aufteilung analog zu den Lemmata 5.41, 5.43 und 5.45 gilt, daß unabhängige non-gaining
ς-Redexstellen erhalten bleiben, non-gaining ς-Redexstellen keine gaining ς-Redexstellen erzeugen
und gaining ς-Redexstellen erhalten bleiben, so sind auch analog zu Lemma 5.47 die analog zu Definition
5.16 definierten eventually gaining ς-Reduktionsfolgen unter Residuenbildung abgeschlossen,
denn der gegebene Beweis von Lemma 5.47 beruht nur auf diesen drei Eigenschaften der outermost
ς-Redexstellen. Ist GainP,ς(t) ⊆ OuterP,ς(t), so lassen sich mit Sicherheit auch Teile der Beweise
der Lemmata 5.41, 5.43 und 5.45 zum Beweisen der drei Eigenschaften wiederverwenden.
Wir haben die Bezeichnung gaining ς-Redexstellen natürlich nicht ohne Grund gewählt. Wenn noch
analog zu Lemma 5.23, S. 105, über Informationsgewinn bei Reduktion
t
t
u
−−→
P
t ′ , u ∈ GainP,ς(t) =⇒ [[t]] alg
⊥ς ✂ [[t′ ]] alg
⊥ς
u
−−→ t
P
′ , u ∈ NGainP,ς(t) =⇒ [[t]] alg
⊥ς = [[t′ ]] alg
⊥ς
gilt, so ist auch die Dominanz von eventually gaining ς-Reduktionsfolgen analog zu Lemma 5.49
gegeben.
Jede ς-Reduktionsstrategie, die auf derartigen eventually gaining ς-Reduktionsfolgen beruht,
ist also vollständig bezüglich der ς-Fixpunktsemantik. Da nach Lemma 5.34, S. 113, jede ς-
Reduktionssemantik korrekt ist, stimmt eine solche eventually gaining ς-Reduktionssemantik mit
der ς-Grundtermsemantik überein.
In unserem obigen Beispiel sollte also in and(a,b) die Stelle 2 zu den gaining und 1 zu den nongaining
cbn-Redexstellen gehören. In Kapitel 7 werden wir noch eine Anregung für eine allgemeine
Definition von GainP,ς(t) und NGainP,ς(t) geben.