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102 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN Wie schon die po-Reduktionssemantik der cbn-Semantik werden sowohl die allgemeine als auch die po-ς-Reduktionssemantik durch die kleinste obere Schranke einer im allgemeinen unendlichen Menge von Approximationen definiert. Wie dort stellt sich daher die Frage, ob es möglich ist, daß ein semantischer Wert eines Terms, der ein endlicher, totaler Konstruktorterm ist, nur beliebig genau approximiert, aber nie erreicht werden kann. Dies ist nicht der Fall. Lemma 5.21 Berechenbarkeit der ς-Reduktionssemantiken Sei t ∈ TΣ. Wenn [[t]] red P,ς = t ∈ TC bzw. [[t]] po P,ς = t ∈ TC, dann existiert die ς-Normalform t↓ P,ς bzw. die po-ς-Normalform t↓ P,po,ς, und es gilt Beweis: Sei t = [[t]] red P,ς = {[[t ′ ]] alg ⊥ς existiert [[ˆt]] alg ⊥ς ∈ {[[t′ ]] alg | t ⊥ς [[t]] red P,ς = t = t↓ P,ς bzw. [[t]] po P,ς = t = t↓ P,po,ς. | t ∗ P,ς −−→ ∗ −−→ P,ς t ′ } ∈ TC. 〈TC,ς, ✂〉 ist ω-induktiv und t ω-kompakt. Somit t ′ } mit t = [[ˆt]] alg ⊥ς . Wegen t ∈ TC folgt ˆt = t. Also gilt t ∗ −−→ P,ς ˆt = t, und t ist die ς-Normalform von t. Die Aussage über die po-ς-Reduktionssemantik folgt analog. ✷ Zusammen mit der Übereinstimmung der allgemeinen und der po-ς-Reduktionssemantik, die wir in 5.5 zeigen, läßt sich leicht folgern, daß die ς-Normalform und die po-ς-Normalform eines Terms übereinstimmen. Aufgrund der ω-Induktivität der kanonischen Halbordnung des Rechenbereichs sind alle semantischen Werte schon durch ihre endlichen Approximationen eindeutig bestimmt. Daher können zwei syntaktische Terme t, t ′ ∈ TΣ unterschiedlicher denotationeller Semantik ([[t]] fix P,ς = [[t′ ]] fix P,ς ) immer operationell unterschieden werden, d. h. bei Hinzunahme von zusätzlichen Funktionssymbolen und dazugehörigen Programmregeln (die die kompositionelle Semantik nur erweitern) existiert f (n) ∈ F mit2 ∗ f(t) −−→ t ∈ TC und nicht f(t ′ ∗ ) −−→ t. P,ς P,ς Für unseren Programmiersprachen ähnliche Programmiersprachen wird eine derartige Aussage in [Ra&Vui80] bewiesen. In funktionalen Programmiersprachen höherer Ordnung ist diese erwünschte fully abstract Eigenschaft von Semantiken jedoch aufgrund der Sequentialität aller Operationen (siehe Kapitel 7) ein Problem ([Ber&Cur82], [Ca&Fell92]). 5.3.2 ς-Reduktionssemantiken und die li- und die po-Reduktionssemantik Wir haben die ς-Semantiken als Verallgemeinerung der cbv- und der cbn-Semantik eingeführt. Bei der Definition der ς-Reduktionssemantiken haben wir jedoch kaum auf die Definitionen der li- und der po-Reduktionssemantik zurückgegriffen. Wir wollen hier die bestehenden Beziehungen aufzeigen. Betrachten wir die Definition der ς-Redexe, so sehen wir, daß die cbv-Redexe genau die innermost Redexe sind, und alle Redexe cbn-Redexe sind (RedP,cbn = RedP). 2 Da die allgemeine und die po-ς-Reduktionssemantik übereinstimmen, wie wir in 5.5 zeigen, gilt diese Aussage selbstverständlich auch für po-ς-Reduktion.
5.3. DIE ς-REDUKTIONSSEMANTIKEN 103 Hieraus folgt direkt, daß die po-Reduktionssemantik gleich der po-cbn-Reduktionssemantik ist. In diesem Fall ist die in Kapitel 4 angegebene Reduktionssemantik also wirklich ein Spezialfall einer der zwei ς-Reduktionssemantiken. Für die cbv-Semantik ist dies jedoch nicht gegeben. Die hierfür in Kapitel 4 definierte li- Reduktionssemantik basiert zwar auf der Reduktion an innermost Redexstellen, d. h. cbv-Redexstellen, aber die sequentielle li-Reduktionsstrategie reduziert nur immer genau an einer cbv-Redexstelle, der leftmost-innermost Redexstelle. Dagegen reduziert die parallele po-cbv- Reduktionsstrategie im allgemeinen an mehreren innermost Redexstellen, wie das folgende Beispiel demonstriert. Beispiel 5.6 li- und po-cbv-Reduktionsstrategie Betrachten wir die Reduktion eines Terms condSucc(Succ(inf),Zero,inf) −−−−→ P,po,cbv inf → Succ(inf) −−−−→ P,po,cbv −−−−→ P,po,cbv condSucc(Succ(inf),Zero,inf) −−→ P,li −−→ P,li −−→ P,li condSucc(Succ(Succ(inf)),Zero,Succ(inf)) condSucc(Succ 3 (inf),Zero,Succ 2 (inf)) ... condSucc(Succ(Succ(inf)),Zero,inf) condSucc(Succ 3 (inf),Zero,inf) Die po-cbv-Reduktionsstrategie reduziert in einem Schritt parallel alle outermost Redexstellen der innermost Redexstellen. Innermost Redexstellen können schließlich aufgrund der Verzweigungssymbole sehr wohl übereinander liegen. Wie wir schon bei ihrer Definition anmerkten, ist die Bezeichnung ” innermost“ Redexstellen irreführend. Die li-Reduktion ist sozusagen eine lo-cbv-Reduktion. Wir haben in 4.3 gesehen, daß mit der lo-Reduktionsstrategie, die wir entsprechend auch lo-cbn-Reduktionsstrategie nennen, keine cbn- Semantik definierbar ist. Somit realisiert eine lo-ς-Reduktionsstrategie für beliebige ς keine ς- Semantik. Daher definieren wir auch keine lo-ς-Reduktionssemantik. Im Falle der cbv-Semantik führt die lo-cbv-Reduktionsstrategie jedoch aufgrund der speziellen Semantik der Verzweigungsoperationen und der Striktheit aller übrigen Operationen zum Ziel. Da die cbv-Semantik ein solcher Ausnahmefall ist, und die li-Reduktionssemantik also kein Spezialfall einer unserer zwei ς- Reduktionssemantiken ist, haben wir in Kapitel 4 die Invarianz der li-Reduktionssemantik und ihre Übereinstimmung mit der cbv-Fixpunktsemantik schon bewiesen. Es sei noch erwähnt, daß die andersartige Formulierung der li-Reduktionssemantik, d. h. der Verzicht auf die Verwendung semantischer Approximationen, keine Rolle bei dieser Abweichung spielt. Es ist leicht einzusehen, daß für alle t ∈ TΣ [[t]] li P = ... t↓ P,li , falls t↓ P,li existiert und t↓ P,li ∈ TC ist ⊥ , andernfalls = {[[t ′ ]] alg | t ⊥cbv ∗ −−→ t P,li ′ } ✷
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Rheinisch-Westfälische Technische
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2
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Kapitel 1 Einleitung Eine Programmi
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Die Bedeutung der Basisdatentypen w
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Um derartige Semantiken zu finden,
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Kapitel 2 Grundlagen Hier werden in
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2.2. HALBORDNUNGEN 11 • obere Sch
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2.2. HALBORDNUNGEN 13 Bemerkung 2.1
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