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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 77
Definition 5.6 ς-Transformation
Die ς-Transformation zum Programm P,
ist definiert durch
⎧
f ΦP,ς()
⎪⎨
(t) :=
⎪⎩
ΦP,ς : [IntΣ,ς →IntΣ,ς],
[[r]] alg
,β , wenn t mit der linken Seite einer
Reduktionsregel f(p)→r von P
vermittels einer Variablenbelegung β : Var(p)→TC,ς
semantisch ς-gematcht wird.
⊥ , andernfalls
für alle t ∈ (TC,ς) n , f (n) ∈ F( ˙∪ H). ✷
Die Definition des semantischen ς-Matchens enthält neben der sich aus dem allgemeinen Konzept
der erzwungenen Striktheit ergebenden Striktheitsbedingung und der eigentlichen Matchingbedingung
([[pi]] alg
⊥ς,β = t i für alle i ∈ [n]) außerdem noch eine Ordnungsbedingung:
pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
für alle i ∈ [n]. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Notwendigkeit dieser Bedingung.
Beispiel 5.1 Die Ordnungsbedingung des semantischen ς-Matchens
f(G(x)) → A
f(H(x)) → B
Es sei ς(f) := (ff), ς(G) := (tt), ς(H) := (tt) und t = ⊥.
Betrachten wir f ΦP,ς() (t) für ein∈IntΣ,ς.
f ist nicht erzwungen strikt für t und mit β(x) := ⊥ ist
Somit wäre ohne die Ordnungsbedingung
[[G(x)]] alg
⊥ς,β = G⊥ς (⊥) = ⊥ = t.
f ΦP,ς() alg
(t) = [[A]] = A. ,β
Dies ist jedoch erstens nicht erwünscht und führt zweitens mit
[[H(x)]] alg
⊥ς,β = H⊥ς (⊥) = ⊥ = t.
f ΦP,ς() alg
(t) = [[B]] = B. ,β
zu einem Widerspruch.
Aufgrund der Ordnungsbedingung ist jedoch (t) weder mit f(G(x)) noch mit f(H(x)) semantisch
ς-matchbar, und es gilt wie beabsichtigt
f ΦP,ς() (t) = ⊥.
✷