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6.3. DER PARTIELLE CBV-DATENTYP VON PROGRAMMEN MIT PATTERN 145
Im wesentlichen haben wir in diesem Abschnitt gezeigt, daß Fixpunkte der cbn-Transformation
Modelle sind, und daß die cbn-Semantik als einzige deklarativ definierbar ist, nämlich durch
DP,cbn = Min 〈Alg ∞ Σ,⊥ ,⊑〉(IntModP,cbn). Außerdem ist für Programme mit Pattern der cbv-Datentyp
auch durch DP,cbv = Min 〈AlgΣ ,⊑〉(IntMod ∗ P,cbv) charakterisierbar. Die Definitionen der Gültigkeit ∗
und des ς-Interpretationsmodells ∗ erscheinen jedoch trotz der Ausgezeichnetheit von ⊥ als ziemlich
willkürlich und ausgefallen. Daher kann DP,cbv = Min 〈AlgΣ ,⊑〉(IntMod ∗ P,cbv) kaum als deklarative
Definition der cbv-Semantik verstanden werden. Diese Charakerisierung des cbv-Datentyps zusammen
mit der Tatsache, daß der Rechenbereich der cbv-Semantik eine einfache flache Halbordnung
ist (〈T⊥ C , ✂〉), und die Quantifizierung der Variablen der Reduktionsregeln beim Gültigkeits∗-Test genau über TC = T⊥ C \ {⊥} erfolgt, führt jedoch zu der Idee, für die cbv-Semantik von Programmen
mit Pattern anstelle der geordneten Algebren mit totalen Operationen sogenannte partielle
Algebren zu verwenden.
6.3 Der partielle cbv-Datentyp von Programmen mit Pattern
Wir haben von Beginn an das spezielle Symbol ⊥ für Undefiniertheit (oder fehlende Information)
verwendet, obwohl der Einsatz partieller Abbildungen eigentlich naheliegender und natürlicher ist.
Allerdings ist das Ergebnis einer partiellen Abbildung grundsätzlich undefiniert, wenn nur eines der
Argumente undefiniert ist; d. h. partielle Abbildungen sind gemäß unserer für Abbildungen über
Halbordnungen definierten Bezeichnungsweise prinzipiell strikt. Daher sind Semantiken, die den
Operationssymbolen partielle Operationen zuordnen, nur für die cbv-Semantik geeignet. Außerdem
sind die Programme mit Hilfsfunktionen ausgeschlossen, weil die Operationen der Verzweigungssymbole
condG an den letzten zwei Argumentstellen prinzipiell nicht-strikt sind.
Im diesem gesamten Abschnitt betrachten wir also nur Programme mit Pattern.
Auf partiellen Algebren beruhende Semantiken algebraischer Spezifikationen werden in
[Broy&Wir82] und in 3.3.2 in [Wir90] betrachtet. Eine umfassende Darstellung der mathematischen
Theorie partieller Algebren ist [Bur86].
Diese Theorie erweist sich leider aufgrund der nötigen Unterscheidung von definierten und undefinierten
Ausdrücken als komplizierter als die allgemein bekannte und bisher verwendete der totalen
Algebren. Die meisten bekannten Begriffe lassen sich zwar leicht auf partielle Algebren übertragen,
erscheinen dort jedoch häufig in mehreren verschiedenen Varianten. So werden beispielsweise
in der Literatur drei verschiedene Arten von Homomorphismen und dem entsprechend auch drei
verschiedene Arten von initialen partiellen Algebren aufgeführt.
Wir führen jedoch nur wenige, für den partiellen cbv-Datentyp wirklich benötigte Begriffe ein.
Definition 6.7 Partielle Operation (vgl. mit Def. der Operation in 2.3)
Ist A eine Menge und n ∈ IN, so heißt eine partielle Abbildung f : A nAn-stellige partielle
Operation auf A. Wir verwenden die Bezeichnungen:
Ops part
n (A) := {f | f : A nA}
Ops part (A) :=
n∈IN
Ops part
n (A)
✷